La funzione logaritmica è l’inversa della funzione esponenziale. Se a^y = x, allora diciamo che y è il logaritmo in base a di x, indicato come y = \log_a(x).
Caratteristiche Fondamentali
Il logaritmo naturale (base e), indicato con \ln(x) o semplicemente \log(x), è il più utilizzato nel calcolo infinitesimale.
- Dominio: (0, +\infty). Non è possibile calcolare il logaritmo di numeri negativi o dello zero nel campo reale.
- Codominio: \mathbb{R}.
- Andamento: È una funzione a crescita molto lenta, che tende a +\infty per x \to \infty e a -\infty per x \to 0^+.
- Derivata: \frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.
Proprietà Algebriche
- \log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b)
- \log(a/b) = \log(a) - \log(b)
- \log(a^n) = n \cdot \log(a)
- Cambio di base: \log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}
Applicazione Ingegneristica
I logaritmi permettono di linearizzare relazioni esponenziali e sono fondamentali nelle scale di misura non lineari.
- Decibel (dB): Misura del rapporto tra potenze 10 \log_{10}(P_1/P_2).
- Diagrammi di Bode: Usati in automatica per visualizzare la risposta in frequenza dei sistemi.
- Entropia di Shannon: H = -\sum p_i \log p_i, base della teoria dell’informazione.