Funzione Logaritmica — ingegnerismo.it

La funzione logaritmica è l’inversa della funzione esponenziale. Se $a^y = x$ , allora diciamo che $y$ è il logaritmo in base $a$ di $x$ , indicato come $y = \log_a(x)$ .

Caratteristiche Fondamentali

Il logaritmo naturale (base $e$ ), indicato con $\ln(x)$ o semplicemente $\log(x)$ , è il più utilizzato nel calcolo infinitesimale.

Dominio: $(0, +\infty)$ . Non è possibile calcolare il logaritmo di numeri negativi o dello zero nel campo reale.
Codominio: $\mathbb{R}$ .
Andamento: È una funzione a crescita molto lenta, che tende a $+\infty$ per $x \to \infty$ e a $-\infty$ per $x \to 0^+$ .
Derivata: $\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}$ .

Proprietà Algebriche

$\log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b)$
$\log(a/b) = \log(a) - \log(b)$
$\log(a^n) = n \cdot \log(a)$
Cambio di base: $\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}$

Applicazione Ingegneristica

I logaritmi permettono di linearizzare relazioni esponenziali e sono fondamentali nelle scale di misura non lineari.

Decibel (dB): Misura del rapporto tra potenze $10 \log_{10}(P_1/P_2)$ .
Diagrammi di Bode: Usati in automatica per visualizzare la risposta in frequenza dei sistemi.
Entropia di Shannon: $H = -\sum p_i \log p_i$ , base della teoria dell’informazione.