Funzione Esponenziale — ingegnerismo.it

La funzione esponenziale è una funzione della forma $f(x) = a^x$ , dove la base $a$ è un numero reale positivo diverso da 1. Il caso più importante in analisi e ingegneria è quello in cui la base è il numero di Nepero $e \approx 2,71828$ .

Definizione e Caratteristiche

La funzione $f(x) = e^x$ (spesso scritta come $\exp(x)$ ) ha le seguenti proprietà:

Dominio: $\mathbb{R}$ .
Codominio: $(0, +\infty)$ . La funzione è sempre strettamente positiva.
Derivata: È l’unica funzione (a meno di costanti) che coincide con la sua derivata: $\frac{d}{dx}e^x = e^x$ .
Crescita: Per $a > 1$ , la crescita esponenziale supera quella di qualsiasi potenza di $x$ per $x \to \infty$ (gerarchia degli infiniti).

Leggi delle Potenze

$e^a \cdot e^b = e^{a+b}$
$(e^a)^b = e^{ab}$
$e^{-a} = \frac{1}{e^a}$

Significato Ingegneristico

L’esponenziale descrive fenomeni naturali in cui la variazione di una grandezza è proporzionale alla grandezza stessa.

Scarica di un condensatore: $V(t) = V_0 e^{-t/RC}$ .
Crescita batterica o decadimento radioattivo.
Risposta ai sistemi LTI: La funzione $e^{st}$ è l’autofunzione dei sistemi lineari tempo-invarianti.

Sviluppo in Serie di Taylor

L’esponenziale può essere definito tramite la sua serie di potenze, convergente su tutto il piano complesso: $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$