La funzione esponenziale è una funzione della forma f(x) = a^x, dove la base a è un numero reale positivo diverso da 1. Il caso più importante in analisi e ingegneria è quello in cui la base è il numero di Nepero e \approx 2,71828.
Definizione e Caratteristiche
La funzione f(x) = e^x (spesso scritta come \exp(x)) ha le seguenti proprietà:
- Dominio: \mathbb{R}.
- Codominio: (0, +\infty). La funzione è sempre strettamente positiva.
- Derivata: È l’unica funzione (a meno di costanti) che coincide con la sua derivata: \frac{d}{dx}e^x = e^x.
- Crescita: Per a > 1, la crescita esponenziale supera quella di qualsiasi potenza di x per x \to \infty (gerarchia degli infiniti).
Leggi delle Potenze
- e^a \cdot e^b = e^{a+b}
- (e^a)^b = e^{ab}
- e^{-a} = \frac{1}{e^a}
Significato Ingegneristico
L’esponenziale descrive fenomeni naturali in cui la variazione di una grandezza è proporzionale alla grandezza stessa.
- Scarica di un condensatore: V(t) = V_0 e^{-t/RC}.
- Crescita batterica o decadimento radioattivo.
- Risposta ai sistemi LTI: La funzione e^{st} è l’autofunzione dei sistemi lineari tempo-invarianti.
Sviluppo in Serie di Taylor
L’esponenziale può essere definito tramite la sua serie di potenze, convergente su tutto il piano complesso: e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots