La Funzione di Ripartizione (o CDF - Cumulative Distribution Function), indicata con F_X(x), descrive completamente la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria X (sia essa discreta, continua o mista).
Definizione
Per ogni numero reale x, la funzione di ripartizione è definita come la probabilità che la variabile aleatoria X assuma un valore minore o uguale a x: F_X(x) = P(X \leq x)
Proprietà Fondamentali
Ogni funzione di ripartizione deve soddisfare quattro proprietà:
- Limiti all’infinito: \lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0 e \lim_{x \to \infty} F_X(x) = 1.
- Monotonia: È una funzione non decrescente (se x_1 < x_2, allora F_X(x_1) \leq F_X(x_2)).
- Continuità a destra: \lim_{t \to x^+} F_X(t) = F_X(x).
- Calcolo delle probabilità su intervalli: Per ogni a < b, P(a < X \leq b) = F_X(b) - F_X(a).
Differenze tra Tipi di Variabili
- Variabili Discrete: F_X(x) è una funzione a gradini (costante a tratti), con salti in corrispondenza dei valori che la variabile può assumere. L’ampiezza del salto è pari alla probabilità del valore.
- Variabili Continue: F_X(x) è una funzione continua e spesso derivabile. La sua derivata è la Funzione di Densità di Probabilità.
Significato Ingegneristico
- Analisi di Affidabilità: Se X è il tempo al guasto, F_X(t) è la probabilità che il sistema si sia già guastato entro il tempo t (detta anche inaffidabilità). La funzione R(t) = 1 - F_X(t) è la funzione di sopravvivenza o affidabilità.
- Specifica di Componenti: Nello studio delle tolleranze, la CDF permette di calcolare la percentuale di pezzi prodotti che cadranno entro i limiti di specifica.
- Generazione di Numeri Casuali: Il metodo dell’inversione della CDF è la tecnica base utilizzata nei simulatori software per generare campioni di variabili aleatorie con una distribuzione specifica a partire da una distribuzione uniforme.
Vedi anche: Variabile Aleatoria, Funzione di Densità di Probabilità, Affidabilità.