Funzione di Ripartizione

La Funzione di Ripartizione (o CDF - Cumulative Distribution Function), indicata con $F_X(x)$, descrive completamente la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria $X$ (sia essa discreta, continua o mista).

Definizione

Per ogni numero reale $x$, la funzione di ripartizione è definita come la probabilità che la variabile aleatoria $X$ assuma un valore minore o uguale a $x$: $F_X(x) = P(X \leq x)$

Proprietà Fondamentali

Ogni funzione di ripartizione deve soddisfare quattro proprietà:

1. Limiti all’infinito: $\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0$ e $\lim_{x \to \infty} F_X(x) = 1$.
2. Monotonia: È una funzione non decrescente (se $x_1 < x_2$, allora $F_X(x_1) \leq F_X(x_2)$).
3. Continuità a destra: $\lim_{t \to x^+} F_X(t) = F_X(x)$.
4. Calcolo delle probabilità su intervalli: Per ogni $a < b$, $P(a < X \leq b) = F_X(b) - F_X(a)$.

Differenze tra Tipi di Variabili

• Variabili Discrete: $F_X(x)$ è una funzione a gradini (costante a tratti), con salti in corrispondenza dei valori che la variabile può assumere. L’ampiezza del salto è pari alla probabilità del valore.
• Variabili Continue: $F_X(x)$ è una funzione continua e spesso derivabile. La sua derivata è la Funzione di Densità di Probabilità.

Significato Ingegneristico

• Analisi di Affidabilità: Se $X$ è il tempo al guasto, $F_X(t)$ è la probabilità che il sistema si sia già guastato entro il tempo $t$ (detta anche inaffidabilità). La funzione $R(t) = 1 - F_X(t)$ è la funzione di sopravvivenza o affidabilità.
• Specifica di Componenti: Nello studio delle tolleranze, la CDF permette di calcolare la percentuale di pezzi prodotti che cadranno entro i limiti di specifica.
• Generazione di Numeri Casuali: Il metodo dell’inversione della CDF è la tecnica base utilizzata nei simulatori software per generare campioni di variabili aleatorie con una distribuzione specifica a partire da una distribuzione uniforme.

Vedi anche: Variabile Aleatoria, Funzione di Densità di Probabilità, Affidabilità.