La terna di Frenet-Serret è un sistema di riferimento mobile associato a una curva regolare \gamma nello spazio, che descrive la geometria locale della curva in ogni punto.
Parametrizzazione Naturale e Ascissa Curvilinea
Una curva \gamma: [a,b] \to \mathbb{R}^3 si dice regolare se \gamma'(t) \neq \mathbf{0} per ogni t. L’ascissa curvilinea (o parametrizzazione naturale) è: s(t) = \int_a^t \|\gamma'(\tau)\|\,d\tau
Con la parametrizzazione naturale, \|\gamma'(s)\| = 1 ovunque.
Vettori della Terna
- Vettore tangente unitario: \mathbf{T}(s) = \gamma'(s)
- Vettore normale principale: \mathbf{N}(s) = \frac{\mathbf{T}'(s)}{\|\mathbf{T}'(s)\|} (punta verso il centro di curvatura)
- Vettore binormale: \mathbf{B}(s) = \mathbf{T}(s) \times \mathbf{N}(s)
Curvatura e Torsione
- Curvatura: \kappa(s) = \|\mathbf{T}'(s)\| = \|\gamma''(s)\|. Misura quanto la curva si discosta dalla retta tangente. Per \kappa = 0 la curva è localmente rettilinea; il raggio di curvatura è R = 1/\kappa.
- Torsione: \tau(s) = -\mathbf{B}'(s) \cdot \mathbf{N}(s). Misura quanto la curva si discosta dal piano osculatore. Per \tau = 0 la curva è piana.
Formule di Frenet-Serret
\mathbf{T}' = \kappa\,\mathbf{N}, \qquad \mathbf{N}' = -\kappa\,\mathbf{T} + \tau\,\mathbf{B}, \qquad \mathbf{B}' = -\tau\,\mathbf{N}
Curvatura e torsione determinano completamente la forma della curva (a meno di movimenti rigidi).