Terna di Frenet

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    La terna di Frenet-Serret è un sistema di riferimento mobile associato a una curva regolare γ\gamma nello spazio, che descrive la geometria locale della curva in ogni punto.

    Parametrizzazione Naturale e Ascissa Curvilinea

    Una curva γ:[a,b]→R3\gamma: [a,b] \to \mathbb{R}^3 si dice regolare se γ′(t)≠0\gamma'(t) \neq \mathbf{0} per ogni tt. L’ascissa curvilinea (o parametrizzazione naturale) è: s(t)=∫at∥γ′(τ)∥ dτs(t) = \int_a^t \|\gamma'(\tau)\|\,d\tau

    Con la parametrizzazione naturale, ∥γ′(s)∥=1\|\gamma'(s)\| = 1 ovunque.

    Vettori della Terna

    • Vettore tangente unitario: T(s)=γ′(s)\mathbf{T}(s) = \gamma'(s)
    • Vettore normale principale: N(s)=T′(s)∥T′(s)∥\mathbf{N}(s) = \frac{\mathbf{T}'(s)}{\|\mathbf{T}'(s)\|} (punta verso il centro di curvatura)
    • Vettore binormale: B(s)=T(s)×N(s)\mathbf{B}(s) = \mathbf{T}(s) \times \mathbf{N}(s)

    Curvatura e Torsione

    • Curvatura: κ(s)=∥T′(s)∥=∥γ′′(s)∥\kappa(s) = \|\mathbf{T}'(s)\| = \|\gamma''(s)\|. Misura quanto la curva si discosta dalla retta tangente. Per κ=0\kappa = 0 la curva è localmente rettilinea; il raggio di curvatura è R=1/κR = 1/\kappa.
    • Torsione: τ(s)=−B′(s)⋅N(s)\tau(s) = -\mathbf{B}'(s) \cdot \mathbf{N}(s). Misura quanto la curva si discosta dal piano osculatore. Per τ=0\tau = 0 la curva è piana.

    Formule di Frenet-Serret

    T′=κ N,N′=−κ T+τ B,B′=−τ N\mathbf{T}' = \kappa\,\mathbf{N}, \qquad \mathbf{N}' = -\kappa\,\mathbf{T} + \tau\,\mathbf{B}, \qquad \mathbf{B}' = -\tau\,\mathbf{N}

    Curvatura e torsione determinano completamente la forma della curva (a meno di movimenti rigidi).

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