Formulario di Analisi Matematica I

Questo formulario è costruito come compendio commentato di Analisi Matematica I per ingegneria. Non è un elenco di rimandi: ogni formula viene riportata insieme al suo significato, alle ipotesi minime e al modo corretto di leggerla.

Le formule valgono sempre nel contesto indicato. Quando una funzione compare in un teorema si sottintende che siano soddisfatte le ipotesi di dominio, continuità, derivabilità o integrabilità dichiarate accanto alla formula: togliere una sola ipotesi può cambiare completamente la conclusione.

Prerequisiti 1. Logica, insiemi e quantificatori

Appartenenza, inclusione, unione e intersezione

$$x\in A,\qquad A\subseteq B,\qquad A\cup B=\{x:x\in A\ \text{oppure}\ x\in B\},\qquad A\cap B=\{x:x\in A\ \text{e}\ x\in B\}$$

Il simbolo $x\in A$ dice che $x$ è un elemento dell’insieme $A$; non dice che $x$ sia un sottoinsieme. Il simbolo $A\subseteq B$ dice invece che ogni elemento di $A$ appartiene anche a $B$. L’unione raccoglie gli elementi che stanno in almeno uno dei due insiemi; l’intersezione raccoglie solo gli elementi comuni. In analisi questi simboli servono continuamente per definire domini, intervalli, intorni, immagini e insiemi di soluzioni.

Differenza, complementare e leggi di De Morgan

$$A\setminus B=\{x\in A:x\notin B\},\qquad (A\cup B)^c=A^c\cap B^c,\qquad (A\cap B)^c=A^c\cup B^c$$

La differenza $A\setminus B$ conserva gli elementi di $A$ che non appartengono a $B$. Il complementare $A^c$ dipende sempre dall’universo in cui si sta lavorando: per esempio il complementare di un intervallo cambia se l’universo è $\mathbb{R}$ oppure $\mathbb{C}$. Le leggi di De Morgan traducono la negazione di una frase con “oppure” in una frase con “e”, e viceversa; sono indispensabili quando si nega una definizione con quantificatori, come la definizione di limite.

Quantificatori

$$\forall x\in A,\ P(x),\qquad \exists x\in A:\ P(x),\qquad \neg(\forall x\in A,\ P(x))\equiv \exists x\in A:\neg P(x)$$

Il quantificatore $\forall$ significa “per ogni”: la proprietà deve valere per tutti gli elementi ammessi, senza eccezioni. Il quantificatore $\exists$ significa “esiste almeno un”: basta trovare un elemento che soddisfi la proprietà. Negare una frase universale non significa dimostrare che tutto è falso, ma trovare almeno un controesempio. Questa distinzione è decisiva in limiti, continuità, successioni e teoremi di esistenza.

Implicazione e doppia implicazione

$$P\Rightarrow Q,\qquad P\Leftrightarrow Q$$

$P\Rightarrow Q$ significa che, ogni volta che $P$ è vera, allora $Q$ è vera. Non significa che $Q$ implichi automaticamente $P$. La doppia implicazione $P\Leftrightarrow Q$ afferma entrambe le direzioni e quindi consente di usare $P$ e $Q$ come condizioni equivalenti. Molti criteri in analisi sono implicazioni, non equivalenze: usarli al contrario è uno degli errori più frequenti.

Prodotto cartesiano e relazioni

$$A\times B=\{(a,b):a\in A,\ b\in B\}$$

Il prodotto cartesiano contiene coppie ordinate. La coppia $(a,b)$ è diversa da $(b,a)$, salvo casi particolari. Una relazione tra $A$ e $B$ è un sottoinsieme di $A\times B$; una funzione è una relazione speciale in cui a ogni elemento del dominio è associato uno e un solo valore. Questa idea spiega perché una curva come $x^2+y^2=1$ non è sempre il grafico di una funzione $y=f(x)$.

Prerequisiti 2. Numeri reali, ordine e valore assoluto

Insiemi numerici fondamentali

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$$

I naturali $\mathbb{N}$ servono per contare e indicizzare successioni; gli interi $\mathbb{Z}$ includono i segni; i razionali $\mathbb{Q}$ sono rapporti di interi; i reali $\mathbb{R}$ riempiono la retta senza buchi; i complessi $\mathbb{C}$ estendono i reali introducendo l’unità immaginaria. Analisi I vive principalmente in $\mathbb{R}$, ma usa spesso $\mathbb{N}$ per successioni e serie, e richiama $\mathbb{C}$ per radici e fattorizzazioni.

Intervalli della retta reale

$$(a,b)=\{x\in\mathbb{R}:a<x<b\},\qquad [a,b]=\{x\in\mathbb{R}:a\le x\le b\}$$

Le parentesi tonde escludono gli estremi, le parentesi quadre li includono. L’intervallo $(a,b)$ è aperto, $[a,b]$ è chiuso e limitato. Questa distinzione non è formale: molti teoremi, come Weierstrass, richiedono un intervallo chiuso e limitato; su un intervallo aperto la stessa conclusione può fallire.

Valore assoluto come distanza

$$|x|=\begin{cases} x,& x\ge 0,\\ -x,& x<0, \end{cases} \qquad |x-a|=\text{distanza tra }x\text{ e }a$$

Il valore assoluto non misura il segno, ma la distanza da zero. Perciò $|x-a|$ misura quanto $x$ è lontano da $a$. Questa lettura geometrica è la base degli intorni e della definizione epsilon-delta di limite: chiedere $|x-a|<\delta$ significa costringere $x$ a stare dentro un intervallo centrato in $a$ e di raggio $\delta$.

Disequazioni con valore assoluto

$$|x-a|<r\Longleftrightarrow a-r<x<a+r,\qquad |x-a|\le r\Longleftrightarrow x\in[a-r,a+r]$$

Quando $r>0$, una disequazione del tipo $|x-a|<r$ descrive tutti i punti della retta che distano da $a$ meno di $r$. La versione con $\le$ include anche i due estremi. Se $r=0$, la disuguaglianza stretta non ha soluzioni, mentre $|x-a|\le0$ impone $x=a$.

Disuguaglianza triangolare

$$|x+y|\le |x|+|y|,\qquad \bigl||x|-|y|\bigr|\le |x-y|$$

La prima formula dice che la lunghezza della somma non supera la somma delle lunghezze. La seconda, detta disuguaglianza triangolare inversa, controlla quanto possono differire due distanze. Entrambe sono strumenti di stima: servono per maggiorare errori, dimostrare convergenze e separare termini complicati in termini più semplici.

Estremo superiore e inferiore

$$\sup A=s,\qquad \inf A=i$$

$s=\sup A$ significa che $s$ è il più piccolo dei maggioranti di $A$: ogni elemento di $A$ è minore o uguale a $s$, e nessun numero più piccolo di $s$ ha ancora questa proprietà. Analogamente, $i=\inf A$ è il più grande dei minoranti. Il massimo e il minimo, invece, devono appartenere all’insieme. Per esempio $(0,1)$ ha estremo superiore $1$ e inferiore $0$, ma non ha né massimo né minimo.

Completezza dei reali

$$A\subset\mathbb{R},\ A\ne\varnothing,\ A\ \text{superiormente limitato} \Longrightarrow \exists\,\sup A\in\mathbb{R}$$

La completezza è la proprietà che rende $\mathbb{R}$ adatto all’analisi: ogni insieme non vuoto e limitato superiormente possiede un estremo superiore reale. Nei razionali questa proprietà fallisce. Molti risultati fondamentali, come l’esistenza di limiti per successioni monotone limitate e il teorema degli zeri, dipendono da questa assenza di “buchi” nella retta reale.

Principio di Archimede

$$\forall x\in\mathbb{R},\ \exists n\in\mathbb{N}: n>x$$

Per quanto grande sia un numero reale $x$, esiste sempre un naturale più grande. Questa proprietà permette di trasformare richieste di piccolezza in stime con $1/n$: per esempio, scegliendo $n$ abbastanza grande, si può rendere $1/n$ minore di qualunque soglia positiva fissata.

Prerequisiti 3. Algebra elementare

Prodotti notevoli

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2,\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

Queste identità sono uguaglianze valide per ogni valore ammesso delle lettere. Non sono regole mnemoniche isolate: servono per semplificare espressioni, razionalizzare differenze, scomporre polinomi e preparare limiti in forma indeterminata.

Potenze con esponente intero

$$a^m a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\ (a\ne0),\qquad (a^m)^n=a^{mn}$$

Le regole delle potenze valgono con le ipotesi indicate. La divisione richiede $a\ne0$ perché non si può dividere per zero. Quando si passa a esponenti razionali o reali, occorre controllare anche il segno della base: in ambito reale, $\sqrt{x}$ richiede $x\ge0$.

Radici e razionalizzazione

$$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a,b\ge0),\qquad \sqrt{x+h}-\sqrt{x}=\frac{h}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$$

La prima regola richiede radicandi non negativi nel campo reale. La seconda identità si ottiene moltiplicando per il coniugato e serve spesso nei limiti: trasforma una differenza di radici, difficile da stimare, in un rapporto dove compare il fattore $h$ in modo esplicito.

Equazione di secondo grado

$$ax^2+bx+c=0,\quad a\ne0,\qquad x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

La quantità $\Delta=b^2-4ac$ decide il numero di soluzioni reali: due se $\Delta>0$, una doppia se $\Delta=0$, nessuna reale se $\Delta<0$. Nei complessi le soluzioni esistono comunque. In analisi questa formula compare nello studio del segno di polinomi, nella ricerca di zeri e nella scomposizione di funzioni razionali.

Fattorizzazione tramite radici

$$p(x)=a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)$$

La formula è pienamente valida quando il polinomio di grado $n$ ha, contando le molteplicità, tutte le radici $r_1,\dots,r_n$ nel campo considerato. Una radice multipla compare più volte. Fattorizzare significa riscrivere una somma di potenze come prodotto: è un passaggio chiave per semplificare frazioni algebriche e studiare segni.

Fattoriale e coefficiente binomiale

$$n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n,\qquad \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Per convenzione $0!=1$. Il coefficiente binomiale conta i modi di scegliere $k$ oggetti tra $n$ senza ordine, ma in analisi compare anche nello sviluppo delle potenze e nelle formule di Taylor. È definito per $0\le k\le n$ quando $n,k$ sono interi naturali.

Binomio di Newton

$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$

La sommatoria compatta tutti i termini dello sviluppo di $(a+b)^n$. L’indice $k$ conta quante volte si prende $b$ scegliendo tra gli $n$ fattori; perciò $a$ compare con esponente $n-k$. Questa formula è alla base di molte stime asintotiche e del collegamento tra polinomi e derivate successive.

Prerequisiti 4. Funzioni, dominio e grafici

Funzione, dominio, codominio e immagine

$$f:A\to B,\qquad x\mapsto f(x),\qquad \operatorname{Im}(f)=f(A)=\{f(x):x\in A\}$$

Una funzione assegna a ogni $x$ del dominio $A$ uno e un solo valore nel codominio $B$. L’immagine è l’insieme dei valori effettivamente assunti, che può essere più piccolo del codominio. Il dominio non è un dettaglio amministrativo: determina dove la formula ha senso e dove possono essere applicati limiti, derivate e integrali.

Dominio naturale di una formula

$$\sqrt{g(x)}\ \Rightarrow\ g(x)\ge0,\qquad \frac{1}{g(x)}\ \Rightarrow\ g(x)\ne0,\qquad \ln(g(x))\ \Rightarrow\ g(x)>0$$

Queste condizioni sono vincoli di esistenza reale. Una radice quadrata richiede radicando non negativo; un denominatore non può annullarsi; un logaritmo reale richiede argomento positivo. Prima di studiare una funzione bisogna sempre stabilire il dominio, perché ogni conclusione vale solo lì.

Composizione di funzioni

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))$$

La composizione applica prima $g$ e poi $f$. È definita solo per gli $x$ per cui $g(x)$ appartiene al dominio di $f$. Questa condizione è spesso la parte più delicata: non basta che $g$ sia definita, bisogna anche che il suo valore sia accettabile come ingresso per $f$.

Funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva

$$f\ \text{iniettiva}\Longleftrightarrow f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$$

Una funzione iniettiva non assume lo stesso valore in due punti distinti del dominio. Una funzione suriettiva raggiunge ogni punto del codominio. Una funzione biiettiva è sia iniettiva sia suriettiva e ammette un’inversa definita su tutto il codominio. In Analisi I l’iniettività si riconosce spesso tramite monotonia stretta.

Funzione inversa

$$y=f(x)\quad\Longleftrightarrow\quad x=f^{-1}(y)$$

La funzione inversa scambia il ruolo di ingresso e uscita. Esiste come funzione solo se $f$ è biiettiva tra dominio e immagine, oppure se si restringe opportunamente il dominio. Per esempio $x^2$ non è invertibile su tutta $\mathbb{R}$, ma lo è su $[0,+\infty)$, dove l’inversa è $\sqrt{x}$.

Trasformazioni elementari del grafico

$$f(x-a),\qquad f(x)+b,\qquad f(\lambda x),\qquad \mu f(x)$$

$f(x-a)$ trasla il grafico verso destra se $a>0$; $f(x)+b$ lo trasla verticalmente; $f(\lambda x)$ comprime o dilata orizzontalmente; $\mu f(x)$ comprime, dilata o ribalta verticalmente. Queste trasformazioni aiutano a leggere rapidamente funzioni composte senza ricalcolare tutto da zero.

Prerequisiti 5. Esponenziali, logaritmi e trigonometria

Esponenziale reale

$$a^{x+y}=a^x a^y,\qquad (a^x)^y=a^{xy},\qquad a^0=1$$

Per $a>0$ e $a\ne1$, la funzione $a^x$ è definita per ogni reale $x$ ed è sempre positiva. Se $a>1$ è crescente; se $0<a<1$ è decrescente. L’esponenziale naturale $e^x$ è il caso centrale dell’analisi perché la sua derivata coincide con se stessa.

Logaritmo

$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,\qquad \log_a(x^r)=r\log_a x,\qquad \log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}$$

I logaritmi sono definiti solo per argomenti positivi. La base $a$ deve essere positiva e diversa da $1$. Il logaritmo trasforma prodotti in somme e potenze in prodotti: per questo è utile quando compaiono esponenti variabili, ordini di grandezza o limiti con potenze.

Relazione tra esponenziale e logaritmo

$$e^{\ln x}=x\quad(x>0),\qquad \ln(e^x)=x\quad(x\in\mathbb{R})$$

Le due formule esprimono il fatto che $e^x$ e $\ln x$ sono funzioni inverse. La prima richiede $x>0$ perché $\ln x$ non esiste nei reali per $x\le0$. La seconda vale per ogni reale perché $e^x$ è sempre positivo.

Identità trigonometriche fondamentali

$$\sin^2 x+\cos^2 x=1,\qquad 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$$

La prima identità deriva dalla circonferenza goniometrica ed è valida per ogni $x$. La seconda richiede $\cos x\ne0$, perché $\tan x=\sin x/\cos x$. In limiti, derivate e integrali, queste identità servono per semplificare espressioni e trasformare funzioni trigonometriche in forme più maneggevoli.

Formule di addizione

$$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$$ $$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$$

Queste formule spiegano come si comportano seno e coseno rispetto alla somma degli angoli. Non sono intercambiabili: il seno della somma ha il segno più tra i prodotti, mentre il coseno della somma ha il segno meno nel secondo termine. Sono usate per ricavare formule di duplicazione, derivare identità e risolvere integrali trigonometrici.

Angoli notevoli

$$\sin 0=0,\quad \cos 0=1,\quad \sin\frac{\pi}{2}=1,\quad \cos\frac{\pi}{2}=0,\quad \sin\pi=0,\quad \cos\pi=-1$$

Gli angoli si misurano in radianti quando si fa analisi. Questa scelta non è estetica: formule come $\lim_{x\to0}\sin x/x=1$ e $(\sin x)'=\cos x$ sono vere in questa forma solo se $x$ è espresso in radianti.

Funzioni trigonometriche inverse

$$\arcsin x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],\qquad \arccos x\in[0,\pi],\qquad \arctan x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$

Le inverse trigonometriche richiedono una restrizione del codominio per essere funzioni. $\arcsin x$ e $\arccos x$ sono definite per $x\in[-1,1]$, mentre $\arctan x$ è definita per ogni reale. Gli intervalli indicati sono i valori principali scelti per rendere l’inversa univoca.

Prerequisiti 6. Numeri complessi essenziali

Forma algebrica

$$z=a+ib,\qquad i^2=-1,\qquad \operatorname{Re}z=a,\qquad \operatorname{Im}z=b$$

Un numero complesso ha parte reale $a$ e parte immaginaria $b$. Il simbolo $i$ è definito dalla relazione $i^2=-1$, che nei reali non ha soluzione. La forma algebrica è comoda per sommare e moltiplicare numeri complessi.

Coniugato e modulo

$$\overline{z}=a-ib,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2},\qquad z\overline{z}=|z|^2$$

Il coniugato cambia il segno della parte immaginaria. Il modulo è la distanza del punto $(a,b)$ dall’origine del piano complesso. La formula $z\overline{z}=|z|^2$ permette di dividere per numeri complessi eliminando l’unità immaginaria dal denominatore.

Forma trigonometrica ed esponenziale

$$z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)=\rho e^{i\theta}$$

$\rho=|z|$ è il modulo, mentre $\theta$ è un argomento, cioè un angolo che individua la direzione del numero complesso nel piano. La scrittura $\rho e^{i\theta}$ è compatta e diventa potentissima per potenze, radici e oscillazioni.

Formula di De Moivre

$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$$

La formula vale per interi $n$ e trasforma una potenza complessa in una rotazione di angolo moltiplicato per $n$. È utile quando si calcolano potenze e radici di numeri complessi, e prepara il linguaggio che ricompare in serie, segnali e modelli oscillatori.

1. Successioni reali

Definizione di successione

$$(a_n)_{n\in\mathbb{N}},\qquad a:\mathbb{N}\to\mathbb{R},\qquad n\mapsto a_n$$

Una successione è una funzione definita sui naturali. L’indice $n$ non è una variabile reale continua: assume valori discreti. Studiare una successione significa capire il comportamento dei termini $a_n$ quando l’indice cresce indefinitamente.

Limite finito di una successione

$$\lim_{n\to+\infty}a_n=\ell \Longleftrightarrow \forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N}:\ n\ge N\Rightarrow |a_n-\ell|<\varepsilon$$

La distanza $|a_n-\ell|$ misura quanto il termine $a_n$ è vicino al numero $\ell$. La definizione dice che, qualunque precisione positiva $\varepsilon$ si richieda, da un certo indice $N$ in poi tutti i termini restano entro quella precisione. Non è necessario che i primi termini siano vicini al limite: conta solo la coda della successione.

Successione divergente a infinito

$$\lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty \Longleftrightarrow \forall M>0,\ \exists N\in\mathbb{N}:\ n\ge N\Rightarrow a_n>M$$

Qui non si cerca un numero limite. Si chiede invece che la successione superi definitivamente qualunque soglia positiva $M$. “Definitivamente” significa “da un certo indice in poi”, non “per tutti gli indici”. La divergenza a $-\infty$ si definisce analogamente imponendo $a_n<-M$.

Unicità del limite

$$\lim_{n\to+\infty}a_n=\ell,\qquad \lim_{n\to+\infty}a_n=m \quad\Longrightarrow\quad \ell=m$$

Una successione convergente non può convergere a due numeri diversi. La ragione intuitiva è che due punti distinti della retta possono essere separati da intorni disgiunti; una stessa coda della successione non può stare definitivamente in entrambi.

Successione limitata

$$\exists M>0:\ |a_n|\le M\quad\forall n\in\mathbb{N}$$

Una successione è limitata se tutti i suoi termini restano dentro l’intervallo $[-M,M]$. Ogni successione convergente è limitata, ma non ogni successione limitata converge: per esempio $a_n=(-1)^n$ resta tra $-1$ e $1$, ma oscilla senza limite.

Algebra dei limiti

$$a_n\to a,\quad b_n\to b \Longrightarrow a_n+b_n\to a+b,\qquad a_n b_n\to ab$$

Se due successioni convergono, allora si possono sommare e moltiplicare i limiti. Per il quoziente serve in più $b\ne0$ e $b_n\ne0$ definitivamente. Queste regole sono potenti, ma non risolvono forme indeterminate come $+\infty-\infty$, $0\cdot\infty$ o $0/0$.

Permanenza del segno

$$a_n\to a,\quad a>0 \Longrightarrow \exists N:\ n\ge N\Rightarrow a_n>0$$

Se il limite è strettamente positivo, allora i termini della successione diventano definitivamente positivi. Non si può sostituire $a>0$ con $a\ge0$: una successione che tende a zero può avere termini positivi, negativi o alternati.

Teorema dei carabinieri

$$a_n\le b_n\le c_n,\qquad a_n\to\ell,\quad c_n\to\ell \Longrightarrow b_n\to\ell$$

La successione $b_n$ è “stretta” tra due successioni che hanno lo stesso limite. Se le due barriere si chiudono su $\ell$, anche $b_n$ deve convergere a $\ell$. È uno strumento essenziale quando non si riesce a calcolare direttamente il limite ma si riesce a stimarlo.

Successioni monotone

$$a_{n+1}\ge a_n\quad\forall n \qquad\text{oppure}\qquad a_{n+1}\le a_n\quad\forall n$$

Una successione crescente non diminuisce mai; una decrescente non aumenta mai. “Crescente” spesso significa non decrescente, mentre “strettamente crescente” richiede $a_{n+1}>a_n$. La monotonia non garantisce da sola la convergenza: serve anche una limitazione.

Teorema di convergenza monotona

$$(a_n)\ \text{crescente e superiormente limitata} \Longrightarrow a_n\to\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}$$

Una successione crescente e bloccata dall’alto non può oscillare né scappare a infinito; converge al più piccolo numero che la maggiora. Per successioni decrescenti e inferiormente limitate vale la versione simmetrica con l’estremo inferiore.

Numero di Nepero

$$e=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$

Questa formula definisce il numero $e$ come limite di capitalizzazione composta. È il ponte tra successioni, esponenziali e calcolo differenziale. Il fatto che il limite esista e sia finito non è ovvio: dipende dalla monotonia e dalla limitatezza di opportune successioni.

Sottosuccessioni

$$a_{n_k},\qquad n_1<n_2<\cdots,\qquad n_k\to+\infty$$

Una sottosuccessione si ottiene scegliendo alcuni termini della successione originale, mantenendo l’ordine degli indici. Se $a_n\to\ell$, allora ogni sottosuccessione converge allo stesso $\ell$. Se invece si trovano due sottosuccessioni con limiti diversi, la successione originale non converge.

Criterio di Cauchy per successioni

$$(a_n)\ \text{converge} \Longleftrightarrow \forall\varepsilon>0,\ \exists N:\ m,n\ge N\Rightarrow |a_n-a_m|<\varepsilon$$

Il criterio di Cauchy non cita il valore del limite. Chiede che i termini della coda siano tutti vicini tra loro. Nei reali è equivalente alla convergenza grazie alla completezza; in spazi non completi questa equivalenza può fallire.

2. Serie numeriche

Serie e somme parziali

$$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n,\qquad s_N=\sum_{n=0}^{N}a_n$$

Una serie non è una somma infinita già eseguita: è la successione delle somme parziali $s_N$. Dire che la serie converge significa dire che la successione $s_N$ ha limite finito. Il valore della serie, quando esiste, è proprio quel limite.

Condizione necessaria di convergenza

$$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\ \text{converge} \Longrightarrow \lim_{n\to+\infty}a_n=0$$

Il termine generale deve tendere a zero. La condizione è necessaria ma non sufficiente: se $a_n$ non tende a zero, la serie diverge; se $a_n$ tende a zero, la serie può comunque divergere, come accade per la serie armonica.

Serie geometrica

$$\sum_{n=0}^{+\infty}q^n= \frac{1}{1-q} \quad\text{se }|q|<1$$

La serie geometrica converge solo quando la ragione $q$ ha modulo minore di $1$. Se $|q|\ge1$, i termini non si annullano nel modo richiesto oppure oscillano senza produrre somme parziali convergenti. Questa serie è il modello di riferimento per confronti e sviluppi in serie.

Serie armonica e serie armonica generalizzata

$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\ \text{diverge},\qquad \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^p} \begin{cases} \text{converge},& p>1,\\ \text{diverge},& p\le1. \end{cases}$$

La serie armonica diverge pur avendo termine generale che tende a zero. La serie $p$-armonica distingue il ruolo dell’esponente: solo una decrescita più rapida di $1/n$ garantisce la convergenza. Questo risultato è spesso usato come scala di confronto.

Serie telescopica

$$\sum_{n=1}^{N}(b_n-b_{n+1})=b_1-b_{N+1}$$

In una serie telescopica molti termini si cancellano a coppie. Per passare alla serie infinita si deve poi studiare il limite di $b_{N+1}$. Il calcolo finito delle somme parziali è la parte facile; la convergenza dipende dal comportamento della coda.

Criterio del confronto

$$0\le a_n\le b_n,\qquad \sum b_n\ \text{converge} \Longrightarrow \sum a_n\ \text{converge}$$

Per serie a termini non negativi, una serie più piccola di una serie convergente converge. Simmetricamente, se $0\le b_n\le a_n$ e $\sum b_n$ diverge, allora diverge anche $\sum a_n$. Il criterio funziona perché le somme parziali sono monotone.

Confronto asintotico

$$a_n\ge0,\quad b_n>0,\quad \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=L,\quad 0<L<+\infty \Longrightarrow \sum a_n\ \text{e}\ \sum b_n\ \text{hanno lo stesso carattere}$$

Due termini generali asintoticamente proporzionali producono serie con lo stesso comportamento: convergono entrambe o divergono entrambe. La condizione $0<L<+\infty$ è essenziale; se il limite è zero o infinito il criterio va interpretato come confronto unilaterale, non come equivalenza automatica.

Criterio del rapporto

$$a_n>0,\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L$$ $$L<1\Rightarrow\sum a_n\ \text{converge},\qquad L>1\Rightarrow\sum a_n\ \text{diverge},\qquad L=1\Rightarrow\text{criterio inconcludente}$$

Il rapporto confronta un termine con il successivo. È molto efficace con fattoriali, potenze e prodotti. Quando $L=1$ non bisogna dedurre nulla: esistono serie convergenti e divergenti con rapporto limite uguale a $1$.

Criterio della radice

$$a_n\ge0,\qquad \lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{a_n}=L$$ $$L<1\Rightarrow\sum a_n\ \text{converge},\qquad L>1\Rightarrow\sum a_n\ \text{diverge},\qquad L=1\Rightarrow\text{criterio inconcludente}$$

La radice ennesima misura il comportamento esponenziale del termine generale. È naturale quando $a_n$ contiene potenze con esponente $n$. Anche qui il caso $L=1$ non decide il carattere della serie.

Criterio dell’integrale

$$f\ge0,\quad f\ \text{decrescente},\quad a_n=f(n) \Longrightarrow \sum_{n=1}^{+\infty}a_n\ \text{e}\ \int_1^{+\infty}f(x)\,dx \text{ hanno lo stesso carattere}$$

Il criterio confronta la somma discreta con l’area sotto il grafico di una funzione positiva e decrescente. La decrescenza impedisce che la funzione abbia picchi tra un intero e l’altro. È il metodo classico per studiare le serie $p$-armoniche e molte serie con logaritmi.

Criterio di Leibniz

$$a_n\ge0,\qquad a_{n+1}\le a_n,\qquad a_n\to0 \Longrightarrow \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n a_n\ \text{converge}$$

Una serie alternata converge se le ampiezze dei termini decrescono a zero. Il segno alternato provoca compensazioni progressive. Il criterio non afferma convergenza assoluta, ma solo convergenza della serie alternata.

Convergenza assoluta e semplice

$$\sum |a_n|\ \text{converge} \Longrightarrow \sum a_n\ \text{converge}$$

La convergenza assoluta è più forte della convergenza semplice. Se la serie dei moduli converge, allora le cancellazioni di segno non sono necessarie per ottenere una somma finita. Una serie può convergere senza convergere assolutamente: in quel caso si parla di convergenza semplice o condizionata.

Resto di una serie convergente

$$R_N=\sum_{n=N+1}^{+\infty}a_n=S-s_N$$

Il resto misura l’errore commesso fermando la serie alla somma parziale $s_N$. In applicazioni ingegneristiche è spesso più importante stimare $R_N$ che conoscere la somma esatta, perché ogni calcolo numerico usa un numero finito di termini.

3. Limiti di funzioni reali

Intorno di un punto

$$I(a,r)=(a-r,a+r)=\{x\in\mathbb{R}:|x-a|<r\}$$

Un intorno di $a$ è un intervallo aperto centrato in $a$. Il raggio $r$ indica quanto ci si può allontanare dal centro. I limiti descrivono il comportamento di una funzione in intorni sempre più piccoli del punto, non necessariamente nel punto stesso.

Punto di accumulazione

$$\forall r>0,\quad (A\setminus\{a\})\cap(a-r,a+r)\ne\varnothing$$

$a$ è punto di accumulazione di $A$ se ogni intorno di $a$ contiene punti di $A$ diversi da $a$. Questa condizione è necessaria per parlare di limite di $f(x)$ per $x\to a$ lungo $A$: devono esistere punti del dominio arbitrariamente vicini ad $a$.

Limite finito in un punto

$$\lim_{x\to a}f(x)=\ell \Longleftrightarrow \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0:\ 0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-\ell|<\varepsilon$$

La condizione $0<|x-a|$ esclude il punto $a$: il limite riguarda i valori vicino ad $a$, non necessariamente il valore in $a$. La quantità $\delta$ controlla quanto $x$ deve essere vicino ad $a$; la quantità $\varepsilon$ è la precisione richiesta sui valori della funzione. Per ogni precisione deve esistere un raggio di controllo adeguato.

Limite infinito in un punto

$$\lim_{x\to a}f(x)=+\infty \Longleftrightarrow \forall M>0,\ \exists\delta>0:\ 0<|x-a|<\delta\Rightarrow f(x)>M$$

Il valore della funzione cresce oltre ogni soglia quando $x$ si avvicina ad $a$. Non significa che $f(a)$ sia infinito: spesso $f(a)$ non è neppure definita. Il caso $-\infty$ si ottiene sostituendo $f(x)>M$ con $f(x)<-M$.

Limite per $x$ che tende all’infinito

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell \Longleftrightarrow \forall\varepsilon>0,\ \exists R>0:\ x>R\Rightarrow |f(x)-\ell|<\varepsilon$$

Qui non ci si avvicina a un punto, ma si manda $x$ verso destra senza limite. La soglia $R$ svolge il ruolo che $\delta$ aveva nei limiti in un punto: oltre $R$, la funzione deve restare vicina a $\ell$.

Limiti destro e sinistro

$$\lim_{x\to a^-}f(x)=\ell,\qquad \lim_{x\to a^+}f(x)=\ell$$

Il limite sinistro usa solo valori $x<a$; il limite destro usa solo valori $x>a$. Il limite bilatero esiste se e solo se esistono entrambi i limiti laterali e sono uguali. Se sono diversi, la funzione può avere un salto oppure comportamenti incompatibili ai due lati.

Teorema ponte successioni-funzioni

$$\lim_{x\to a}f(x)=\ell \Longleftrightarrow \forall (x_n),\ x_n\to a,\ x_n\ne a:\ f(x_n)\to\ell$$

Il limite di funzione può essere testato lungo tutte le successioni che tendono al punto. Per dimostrare che un limite non esiste basta trovare due successioni ammissibili che portano a limiti diversi. Per dimostrare che esiste, invece, bisogna controllare tutte le possibili successioni, oppure usare una definizione o un teorema equivalente.

Algebra dei limiti di funzioni

$$f(x)\to L,\quad g(x)\to M \Longrightarrow f(x)+g(x)\to L+M,\qquad f(x)g(x)\to LM$$

Le regole algebriche valgono quando i limiti coinvolti sono finiti oppure quando le operazioni con infiniti sono determinate. Non si applicano automaticamente alle forme indeterminate. Per il rapporto serve $M\ne0$ e $g(x)\ne0$ in un intorno bucato del punto.

Forme indeterminate principali

$$\frac{0}{0},\qquad \frac{\infty}{\infty},\qquad 0\cdot\infty,\qquad \infty-\infty,\qquad 1^\infty,\qquad 0^0,\qquad \infty^0$$

Una forma indeterminata non è un risultato: è un avviso. Significa che le informazioni sui singoli fattori non bastano a determinare il limite dell’espressione composta. Bisogna trasformare l’espressione, usare equivalenti, Taylor, razionalizzazioni, confronti o teoremi specifici.

Limiti notevoli trigonometrici

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$$

Questi limiti valgono con $x$ espresso in radianti. Sono formule locali: descrivono il comportamento vicino a zero. Permettono di sostituire $\sin x$ e $\tan x$ con $x$ al primo ordine, mentre $1-\cos x$ è dell’ordine di $x^2$.

Limiti notevoli esponenziali e logaritmici

$$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e$$

Le prime due formule dicono che, vicino a zero, $e^x-1$ e $\ln(1+x)$ si comportano come $x$. La terza è una forma continua della definizione di $e$. In tutti i casi bisogna rispettare i domini: $\ln(1+x)$ richiede $x>-1$.

Equivalenza asintotica

$$f(x)\sim g(x)\quad(x\to a) \Longleftrightarrow \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$$

Dire che $f$ è equivalente a $g$ significa che il loro rapporto tende a $1$. Gli equivalenti possono essere sostituiti in prodotti e quozienti, ma non in somme dove termini dello stesso ordine possono cancellarsi. Questa cautela evita molti errori nei limiti.

O piccolo

$$f(x)=o(g(x))\quad(x\to a) \Longleftrightarrow \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$

$f=o(g)$ significa che $f$ è trascurabile rispetto a $g$ vicino al punto considerato. Non significa che $f$ sia zero, ma che diventa molto più piccola di $g$ in termini relativi. Per esempio $x^2=o(x)$ per $x\to0$, mentre $x=o(x^2)$ è falso.

Gerarchia degli infiniti

$$\ln x=o(x^\alpha),\qquad x^\alpha=o(a^x),\qquad a^x=o(x!)\qquad(x\to+\infty,\ \alpha>0,\ a>1)$$

Logaritmi, potenze, esponenziali e fattoriali crescono con velocità molto diverse. La gerarchia indica che il logaritmo è più lento di ogni potenza positiva; ogni potenza è più lenta di un’esponenziale con base maggiore di $1$; molte esponenziali sono più lente del fattoriale. Queste relazioni servono per confrontare successioni e serie.

4. Continuità

Continuità in un punto

$$f\ \text{continua in }a \Longleftrightarrow \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$

La continuità richiede tre cose: $f(a)$ deve esistere, il limite per $x\to a$ deve esistere, e i due valori devono coincidere. Se manca anche una sola di queste condizioni, la funzione non è continua in $a$.

Continuità su un insieme

$$f\in C(A)\quad\Longleftrightarrow\quad f\ \text{è continua in ogni punto di }A$$

Essere continua su $A$ significa non avere rotture in nessun punto del dominio considerato. Se $A$ ha estremi, la continuità agli estremi si interpreta con limiti laterali interni al dominio.

Operazioni con funzioni continue

$$f,g\ \text{continue in }a \Longrightarrow f+g,\ fg,\ f\circ g\ \text{continue dove definite}$$

Somma, prodotto e composizione preservano la continuità. Il quoziente $f/g$ è continuo nei punti in cui $g$ non si annulla. Questa regola permette di riconoscere la continuità di molte funzioni elementari senza tornare ogni volta alla definizione epsilon-delta.

Classificazione delle discontinuità

$$\lim_{x\to a^-}f(x),\qquad \lim_{x\to a^+}f(x),\qquad f(a)$$

Per classificare una discontinuità si confrontano limite sinistro, limite destro e valore della funzione. Se i limiti laterali sono finiti e uguali ma diversi da $f(a)$, la discontinuità è eliminabile. Se i limiti laterali sono finiti ma diversi, è un salto. Se almeno un limite laterale è infinito o non esiste, la discontinuità è più grave.

Teorema degli zeri

$$f\in C([a,b]),\qquad f(a)f(b)<0 \Longrightarrow \exists c\in(a,b):f(c)=0$$

Una funzione continua che assume valori di segno opposto agli estremi deve attraversare lo zero. L’ipotesi di continuità è essenziale: una funzione con salto potrebbe passare da valori negativi a positivi senza assumere il valore zero.

Teorema dei valori intermedi

$$f\in C([a,b]),\qquad y\ \text{compreso tra }f(a)\text{ e }f(b) \Longrightarrow \exists c\in[a,b]:f(c)=y$$

La funzione continua assume tutti i valori intermedi tra quelli agli estremi. Il teorema degli zeri è un caso particolare con $y=0$. Questa proprietà è alla base dell’esistenza di soluzioni per equazioni non risolvibili esplicitamente.

Teorema di Weierstrass

$$f\in C([a,b]) \Longrightarrow \exists x_m,x_M\in[a,b]: f(x_m)\le f(x)\le f(x_M)\quad\forall x\in[a,b]$$

Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato assume massimo e minimo assoluti. Le parole “chiuso e limitato” non sono ornamentali: su $(0,1)$ la funzione $f(x)=1/x$ è continua ma non ha massimo, e su $\mathbb{R}$ la funzione $f(x)=x$ non ha né massimo né minimo.

Continuità uniforme

$$\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0:\ |x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon$$

La continuità uniforme usa un unico $\delta$ valido per tutte le coppie di punti del dominio. È più forte della continuità punto per punto, dove $\delta$ può dipendere dal punto. Su un intervallo chiuso e limitato ogni funzione continua è uniformemente continua.

5. Derivate e calcolo differenziale

Derivata in un punto

$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Il rapporto incrementale misura la variazione media di $f$ tra $a$ e $a+h$. La derivata è il limite di questa variazione media quando l’incremento $h$ tende a zero. Geometricamente è il coefficiente angolare della tangente al grafico; fisicamente è una velocità istantanea quando $f$ descrive una grandezza nel tempo.

Retta tangente

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$

La tangente è la migliore approssimazione lineare della funzione vicino ad $a$, quando la derivata esiste. Il termine $f(a)$ fissa il punto di passaggio; il coefficiente $f'(a)$ fissa l’inclinazione. Questa formula è il primo caso dello sviluppo di Taylor.

Derivabilità implica continuità

$$f\ \text{derivabile in }a \Longrightarrow f\ \text{continua in }a$$

La derivabilità è più forte della continuità. Se una funzione ha derivata in un punto, allora non può avere salto in quel punto. Il contrario è falso: $f(x)=|x|$ è continua in $0$, ma non è derivabile in $0$ perché le pendenze laterali sono diverse.

Derivate laterali

$$f'_-(a)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\qquad f'_+(a)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Una funzione è derivabile in $a$ se le due derivate laterali esistono finite e coincidono. Se sono diverse, il grafico ha un punto angoloso; se una è infinita, può esserci una tangente verticale o una cuspide a seconda del comportamento laterale.

Linearità della derivata

$$(\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'$$

La derivata di una combinazione lineare è la stessa combinazione lineare delle derivate. Le costanti $\alpha$ e $\beta$ escono dalla derivata. Questa proprietà permette di derivare polinomi e somme di funzioni termine per termine.

Prodotto e quoziente

$$(fg)'=f'g+fg',\qquad \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\quad(g\ne0)$$

La derivata del prodotto non è il prodotto delle derivate: bisogna derivare un fattore alla volta e sommare i contributi. La formula del quoziente richiede che il denominatore non si annulli. Il segno meno al numeratore è essenziale e deriva dalla derivata di $g^{-1}$.

Regola della catena

$$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\,g'(x)$$

Quando una funzione è composta, si deriva la funzione esterna valutata nella funzione interna e si moltiplica per la derivata della funzione interna. La formula misura come una variazione di $x$ si trasmette prima a $g(x)$ e poi a $f(g(x))$.

Derivata della funzione inversa

$$(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)},\qquad y=f(x),\quad f'(x)\ne0$$

L’inversa scambia asse orizzontale e verticale, quindi la pendenza si inverte. La formula richiede che $f$ sia invertibile localmente e che la derivata non sia nulla: se $f'(x)=0$, la tangente orizzontale diventerebbe una tangente verticale per l’inversa.

Derivate elementari

$$(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1},\qquad (e^x)'=e^x,\qquad (\ln x)'=\frac{1}{x}\quad(x>0)$$

La derivata di una potenza abbassa l’esponente di uno e moltiplica per l’esponente originario. L’esponenziale naturale è l’unica funzione, a fattore costante vicino, che coincide con la propria derivata. Il logaritmo ha derivata $1/x$, quindi cresce sempre più lentamente al crescere di $x$.

Derivate trigonometriche

$$(\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x,\qquad (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}$$

Queste formule valgono con argomento in radianti. La derivata del coseno ha segno negativo perché il coseno diminuisce vicino a zero. La derivata della tangente è definita solo dove $\cos x\ne0$, cioè dove la tangente stessa è definita.

Derivate delle inverse trigonometriche

$$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$$

Le prime due formule valgono per $-1<x<1$, perché agli estremi il denominatore si annulla. La derivata di $\arccos x$ è negativa perché l’arccoseno è decrescente. L’arcotangente è invece definita e derivabile su tutta la retta reale.

Derivate di ordine superiore

$$f''=(f')',\qquad f^{(n)}=(f^{(n-1)})'$$

La seconda derivata misura la variazione della derivata prima. Se $f$ rappresenta una posizione, $f'$ è la velocità e $f''$ è l’accelerazione. In studio di funzione, $f''$ aiuta a riconoscere concavità, convessità e flessi.

Differenziale

$$dy=f'(x)\,dx$$

Il differenziale esprime l’approssimazione lineare della variazione di $y=f(x)$ quando $x$ cambia di una piccola quantità $dx$. Non è una formula magica per trattare simboli separati senza criterio: è la forma lineare che approssima l’incremento $\Delta y$ al primo ordine.

6. Teoremi fondamentali del calcolo differenziale

Teorema di Fermat

$$x_0\ \text{punto di massimo o minimo locale interno},\quad f\ \text{derivabile in }x_0 \Longrightarrow f'(x_0)=0$$

In un estremo locale interno, se il grafico ha tangente, quella tangente deve essere orizzontale. Il teorema dà una condizione necessaria, non sufficiente: $f'(x_0)=0$ non garantisce che $x_0$ sia un massimo o un minimo.

Teorema di Rolle

$$f\in C([a,b]),\quad f\ \text{derivabile in }(a,b),\quad f(a)=f(b) \Longrightarrow \exists c\in(a,b): f'(c)=0$$

Se una funzione continua torna allo stesso valore agli estremi ed è derivabile all’interno, allora da qualche parte ha tangente orizzontale. Le ipotesi distinguono il comportamento agli estremi, dove basta la continuità, da quello interno, dove serve la derivabilità.

Teorema di Lagrange

$$f\in C([a,b]),\quad f\ \text{derivabile in }(a,b) \Longrightarrow \exists c\in(a,b): f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

La derivata in almeno un punto uguaglia la pendenza della secante tra gli estremi. È il ponte tra variazione media e variazione istantanea. Da questo teorema discendono monotonia, stime di incremento e molte disuguaglianze.

Conseguenza: funzione costante

$$f'(x)=0\quad\forall x\in(a,b) \Longrightarrow f\ \text{è costante in }(a,b)$$

Se la derivata è nulla ovunque in un intervallo, non c’è variazione locale e quindi non c’è variazione globale. L’intervallo è importante: su domini spezzati una funzione può essere costante su ogni pezzo e assumere costanti diverse.

Monotonia tramite derivata

$$f'(x)\ge0\quad\forall x\in(a,b) \Longrightarrow f\ \text{crescente in }(a,b)$$

Se la derivata è non negativa, le tangenti non hanno pendenza negativa e la funzione non decresce. Se $f'(x)>0$ ovunque, la funzione è strettamente crescente; l’implicazione inversa richiede attenzione, perché una funzione strettamente crescente può avere derivata nulla in alcuni punti.

Teorema di Cauchy

$$\exists c\in(a,b): \bigl(f(b)-f(a)\bigr)g'(c)=\bigl(g(b)-g(a)\bigr)f'(c)$$

Il teorema di Cauchy generalizza Lagrange confrontando due funzioni. Richiede continuità su $[a,b]$ e derivabilità su $(a,b)$ per entrambe, con condizioni opportune su $g$. È la base teorica della regola di de l’Hôpital.

Regola di de l’Hôpital

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

La formula si può usare, sotto ipotesi precise, per forme $0/0$ o $\infty/\infty$. Non dice che ogni quoziente può essere derivato sopra e sotto. Bisogna verificare che $f$ e $g$ tendano entrambe a zero oppure entrambe a infinito, che siano derivabili in un intorno bucato e che $g'$ non si annulli lì.

7. Studio di funzione

Dominio e simmetrie

$$f(-x)=f(x)\quad\text{funzione pari},\qquad f(-x)=-f(x)\quad\text{funzione dispari}$$

Una funzione pari ha grafico simmetrico rispetto all’asse verticale; una funzione dispari ha simmetria rispetto all’origine. Riconoscere una simmetria dimezza spesso il lavoro, ma prima bisogna controllare che il dominio sia simmetrico rispetto a zero.

Zeri e segno

$$f(x)=0,\qquad f(x)>0,\qquad f(x)<0$$

Gli zeri sono i punti in cui il grafico incontra l’asse orizzontale. Lo studio del segno divide il dominio in regioni dove la funzione è sopra o sotto l’asse. È una fase strutturale: senza segno, monotonia e grafico restano informazione incompleta.

Asintoto verticale

$$\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty \quad\text{oppure}\quad \lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty$$

Se almeno uno dei limiti laterali è infinito, la retta $x=a$ è un asintoto verticale. Il punto $a$ di solito non appartiene al dominio, ma può anche appartenervi con comportamento laterale divergente. È importante indicare il verso: a sinistra e a destra la funzione può divergere con segni diversi.

Asintoto orizzontale

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=L \quad\Longrightarrow\quad y=L\ \text{asintoto orizzontale a destra}$$

L’asintoto orizzontale descrive il valore verso cui il grafico si stabilizza all’infinito. Possono esistere due asintoti orizzontali diversi, uno per $+\infty$ e uno per $-\infty$. L’esistenza di un asintoto orizzontale esclude un asintoto obliquo nello stesso verso.

Asintoto obliquo

$$m=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x},\qquad q=\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)-mx\bigr)$$

Se $m$ e $q$ esistono finiti e $m\ne0$, la retta $y=mx+q$ è un asintoto obliquo. Il coefficiente $m$ misura la pendenza finale del grafico, mentre $q$ corregge lo scarto verticale residuo.

Massimi e minimi locali

$$f'(x_0)=0$$

I punti con derivata nulla sono candidati a estremi locali, non estremi garantiti. Bisogna confrontare il segno di $f'$ a sinistra e a destra, oppure usare derivate successive. Un estremo può trovarsi anche in un punto non derivabile o agli estremi del dominio.

Criterio della derivata prima

$$f'\ \text{cambia da positiva a negativa in }x_0 \Longrightarrow x_0\ \text{massimo locale}$$

Se $f'$ passa da negativa a positiva, si ha invece un minimo locale. Il criterio legge la funzione come movimento: crescente prima e decrescente poi produce un massimo; decrescente prima e crescente poi produce un minimo.

Concavità e convessità tramite derivata seconda

$$f''(x)\ge0\Rightarrow f\ \text{convessa},\qquad f''(x)\le0\Rightarrow f\ \text{concava}$$

Quando $f''$ è positiva, la derivata prima cresce e il grafico piega verso l’alto. Quando $f''$ è negativa, la derivata prima decresce e il grafico piega verso il basso. Le disuguaglianze vanno intese sull’intervallo considerato.

Flesso

$$f''\ \text{cambia segno in }x_0 \Longrightarrow x_0\ \text{punto di flesso}$$

Un flesso è un cambiamento di concavità. La condizione $f''(x_0)=0$ da sola non basta: bisogna verificare il cambio di segno della concavità oppure usare criteri più raffinati. Il punto di flesso può avere tangente orizzontale, obliqua o verticale.

8. Formula di Taylor e approssimazioni

Polinomio di Taylor

$$T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$

Il polinomio di Taylor di grado $n$ approssima $f$ vicino ad $a$ usando il valore della funzione e delle sue prime $n$ derivate in $a$. Il termine $k=0$ è $f(a)$, perché $0!=1$ e $(x-a)^0=1$. Più derivate si includono, più informazioni locali vengono incorporate.

Formula di Taylor con resto di Peano

$$f(x)=T_n(x)+o\bigl((x-a)^n\bigr)\qquad(x\to a)$$

Il resto di Peano dice che l’errore è trascurabile rispetto a $(x-a)^n$ quando $x$ tende ad $a$. È la forma più usata nei limiti perché consente di sostituire una funzione con il suo polinomio dominante, controllando l’ordine dell’errore.

Formula di Taylor con resto di Lagrange

$$f(x)=T_n(x)+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

Qui $\xi$ è un punto compreso tra $a$ e $x$. Questa forma non dà di solito il valore esplicito di $\xi$, ma permette di stimare l’errore se si conosce un maggiorante della derivata di ordine $n+1$. È utile quando l’approssimazione deve avere una precisione certificata.

Sviluppi notevoli in zero

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$$ $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+o(x^{2m+1})$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+o(x^{2m})$$

Questi sviluppi sono centrati in zero, quindi descrivono il comportamento locale per $x\to0$. L’esponenziale contiene tutte le potenze; seno contiene solo potenze dispari; coseno solo potenze pari. I segni alternati di seno e coseno derivano dalle derivate successive.

Logaritmo e potenza generalizzata

$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$$ $$(1+x)^\alpha =1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\cdots+ \binom{\alpha}{n}x^n+o(x^n)$$

Il logaritmo richiede $1+x>0$; lo sviluppo è locale vicino a zero. Nella potenza generalizzata, $\alpha$ può essere reale e i coefficienti generalizzano quelli binomiali. Questi sviluppi sono fondamentali per limiti con logaritmi, radici e potenze non intere.

Uso corretto negli ordini

$$f(x)=a_m(x-a)^m+o\bigl((x-a)^m\bigr),\qquad a_m\ne0$$

Se il primo termine non nullo dello sviluppo ha ordine $m$, allora il comportamento locale di $f$ è governato da quel termine. Il coefficiente $a_m$ decide il segno vicino al punto quando $m$ è pari o dispari, e l’ordine $m$ decide la rapidità con cui la funzione si annulla.

9. Integrale di Riemann e primitive

Somme di Riemann

$$\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\,\Delta x_i$$

Una somma di Riemann approssima l’area orientata sotto il grafico dividendo l’intervallo in piccoli sottointervalli. $\Delta x_i$ è la lunghezza del sottointervallo, mentre $\xi_i$ è un punto scelto al suo interno. Il limite di queste somme, quando esiste ed è indipendente dalle scelte, è l’integrale definito.

Integrale definito

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$$

L’integrale definito misura accumulo: area orientata, massa distribuita, lavoro, carica, quantità totale a partire da una densità. Se $f$ è positiva, l’integrale è area geometrica; se cambia segno, le parti sotto l’asse contribuiscono negativamente.

Linearità dell’integrale

$$\int_a^b \bigl(\alpha f(x)+\beta g(x)\bigr)\,\mathrm{d}x = \alpha\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x +\beta\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x$$

L’integrale distribuisce su somme e costanti. Questa proprietà riflette l’additività dell’accumulo: sommare densità prima o sommare accumuli dopo porta allo stesso risultato, purché le funzioni siano integrabili.

Additività rispetto all’intervallo

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x+\int_c^b f(x)\,\mathrm{d}x$$

L’intervallo può essere spezzato in parti. La formula vale quando $c$ è compreso tra $a$ e $b$ e le funzioni sono integrabili sui tratti considerati. È utile per gestire funzioni definite a tratti o cambi di segno.

Monotonia dell’integrale

$$f(x)\le g(x)\quad\forall x\in[a,b] \Longrightarrow \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\le\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x$$

Se una funzione sta sempre sotto un’altra, anche il suo accumulo totale non supera quello dell’altra. Questa proprietà è alla base delle stime integrali e dei criteri di confronto per integrali impropri.

Stima con il massimo

$$\left|\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\right| \le \int_a^b |f(x)|\,\mathrm{d}x \le (b-a)\max_{[a,b]}|f|$$

La prima disuguaglianza dice che le cancellazioni di segno possono solo ridurre il modulo dell’integrale. La seconda maggiora l’area usando il rettangolo di base $b-a$ e altezza pari al massimo di $|f|$. È una stima grezza ma robusta.

Media integrale

$$\overline{f}_{[a,b]}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$$

La media integrale è il valore costante che produrrebbe lo stesso accumulo totale sull’intervallo. Se $f$ è continua, esiste almeno un punto $c\in[a,b]$ tale che $f(c)=\overline{f}_{[a,b]}$. Questo collega l’integrale a un valore effettivo della funzione.

Primitiva

$$F'(x)=f(x) \quad\Longrightarrow\quad F\ \text{è una primitiva di }f$$

Una primitiva è una funzione la cui derivata è $f$. Le primitive non sono uniche: se $F$ è una primitiva, allora $F+C$ lo è per ogni costante $C$. Per questo negli integrali indefiniti compare sempre una costante arbitraria.

Integrale indefinito

$$\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C$$

L’integrale indefinito rappresenta la famiglia di tutte le primitive di $f$. Non ha estremi di integrazione e non restituisce un numero, ma una classe di funzioni. La costante $C$ è indispensabile perché la derivata di una costante è zero.

Teorema fondamentale del calcolo

$$F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t,\qquad F'(x)=f(x)$$

Se $f$ è continua, la funzione integrale $F$ è derivabile e ha derivata $f$. Questa formula afferma che derivazione e integrazione sono operazioni inverse, sotto ipotesi adeguate. La variabile $t$ è muta: serve a non confondere l’estremo variabile $x$ con la variabile di integrazione.

Formula di Newton-Leibniz

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$$

Se $F$ è una primitiva di $f$, l’integrale definito si calcola come differenza dei valori della primitiva agli estremi. Non basta trovare una funzione simile: bisogna verificare che $F'=f$ sull’intervallo considerato.

10. Tecniche di integrazione

Integrali immediati principali

$$\int x^\alpha\,\mathrm{d}x=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\quad(\alpha\ne-1)$$ $$\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C$$

La formula delle potenze fallisce per $\alpha=-1$, perché si dividerebbe per zero. Quel caso produce il logaritmo. Il valore assoluto in $\ln|x|$ permette di includere intervalli negativi, dove $1/x$ è definita ma $\ln x$ no.

Esponenziali e funzioni trigonometriche

$$\int e^x\,\mathrm{d}x=e^x+C,\qquad \int a^x\,\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C\quad(a>0,\ a\ne1)$$ $$\int \sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+C,\qquad \int \cos x\,\mathrm{d}x=\sin x+C$$

Integrare significa invertire la derivata. L’esponenziale naturale resta invariato; l’esponenziale di base $a$ introduce il fattore $1/\ln a$ perché la derivata di $a^x$ è $a^x\ln a$. Per seno e coseno i segni vanno controllati derivando il risultato.

Integrazione per sostituzione

$$\int f(g(x))g'(x)\,\mathrm{d}x = \int f(u)\,\mathrm{d}u,\qquad u=g(x)$$

La sostituzione riconosce una funzione composta accompagnata dalla derivata della funzione interna. Il simbolo $\mathrm{d}u=g'(x)\mathrm{d}x$ riassume il cambio di variabile. Negli integrali definiti, se si cambia variabile, bisogna cambiare anche gli estremi.

Sostituzione negli integrali definiti

$$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,\mathrm{d}x = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,\mathrm{d}u$$

Gli estremi diventano i valori della nuova variabile $u=g(x)$ agli estremi originali. Questo evita di tornare alla variabile $x$ alla fine. La formula richiede regolarità sufficiente di $g$ e integrabilità della funzione composta.

Integrazione per parti

$$\int u\,\mathrm{d}v=uv-\int v\,\mathrm{d}u$$

È la formula inversa della derivata del prodotto. Si sceglie una parte da derivare, $u$, e una da integrare, $\mathrm{d}v$. Una buona scelta semplifica il nuovo integrale; una scelta cattiva lo complica. Funziona spesso con prodotti tra polinomi, esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche.

Parti negli integrali definiti

$$\int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x = \bigl[u(x)v(x)\bigr]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x$$

Il termine $\bigl[u(x)v(x)\bigr]_a^b$ significa $u(b)v(b)-u(a)v(a)$. Negli integrali definiti non compare una costante arbitraria, perché il risultato finale è un numero. La formula è utile anche per stimare integrali, non solo per calcolarli esattamente.

Decomposizione in fratti semplici

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = S(x)+\sum_i\frac{A_i}{x-r_i} +\sum_j\frac{B_jx+C_j}{x^2+p_jx+q_j}$$

Per integrare una funzione razionale si divide prima se il grado del numeratore è maggiore o uguale a quello del denominatore. Poi si scompone la parte propria in termini elementari associati ai fattori reali del denominatore: lineari e quadratici irriducibili. Ogni pezzo ha primitive standard con logaritmi e arcotangenti.

Integrali con radicali quadratici

$$\sqrt{a^2-x^2},\qquad \sqrt{a^2+x^2},\qquad \sqrt{x^2-a^2}$$

Queste forme suggeriscono sostituzioni trigonometriche o iperboliche. Per esempio $x=a\sin\theta$ semplifica $\sqrt{a^2-x^2}$, perché compare $1-\sin^2\theta=\cos^2\theta$. La scelta corretta dipende dal segno tra i quadrati.

Sostituzione di Weierstrass

$$t=\tan\frac{x}{2},\qquad \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad \mathrm{d}x=\frac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d}t$$

Questa sostituzione trasforma molte funzioni razionali di seno e coseno in funzioni razionali di $t$. È potente ma può introdurre calcoli lunghi; va usata quando identità più semplici non bastano. Bisogna controllare l’intervallo, perché la tangente di $x/2$ non è definita ovunque.

11. Integrali impropri

Integrale improprio su intervallo illimitato

$$\int_a^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{R\to+\infty}\int_a^R f(x)\,\mathrm{d}x$$

L’integrale fino a infinito è definito come limite di integrali su intervalli finiti. Converge se questo limite esiste finito. Non basta che $f(x)\to0$: anche qui, come per le serie, la velocità di decadimento è decisiva.

Integrale improprio con singolarità

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x$$

Questa formula tratta una singolarità in $a$. Si esclude temporaneamente il punto problematico e poi si controlla il limite quando ci si riavvicina. Se la singolarità è interna, l’integrale va spezzato in due e devono convergere entrambi i pezzi.

Integrali di riferimento all’infinito

$$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}\,\mathrm{d}x \begin{cases} \text{converge},& p>1,\\ \text{diverge},& p\le1. \end{cases}$$

La soglia è la stessa delle serie $p$-armoniche. All’infinito, $1/x^p$ è integrabile solo se decade più rapidamente di $1/x$. Questo risultato è la scala principale per confrontare integrali impropri su intervalli illimitati.

Integrali di riferimento vicino a zero

$$\int_0^1\frac{1}{x^p}\,\mathrm{d}x \begin{cases} \text{converge},& p<1,\\ \text{diverge},& p\ge1. \end{cases}$$

Vicino a zero la soglia si inverte rispetto all’infinito. La funzione $1/x^p$ è troppo singolare se $p\ge1$. Questo criterio serve per studiare integrali con denominatori che si annullano agli estremi o in punti interni.

Criterio del confronto per integrali impropri

$$0\le f(x)\le g(x),\qquad \int g\ \text{converge} \Longrightarrow \int f\ \text{converge}$$

Per funzioni non negative, una funzione dominata da una funzione integrabile è integrabile. Se invece $0\le g\le f$ e l’integrale di $g$ diverge, allora diverge anche quello di $f$. La logica è la stessa del confronto tra serie.

Confronto asintotico per integrali

$$f(x)\sim g(x)\quad(x\to a),\qquad f,g\ge0 \Longrightarrow \int f\ \text{e}\ \int g\ \text{hanno lo stesso carattere vicino ad }a$$

Se due funzioni positive sono asintoticamente equivalenti vicino al punto problematico, hanno lo stesso comportamento integrale in quel punto. Questo vale sia per singolarità finite sia per l’infinito. È uno dei metodi più rapidi per ridurre un integrale complicato a un modello noto.

Convergenza assoluta

$$\int |f(x)|\,\mathrm{d}x\ \text{converge} \Longrightarrow \int f(x)\,\mathrm{d}x\ \text{converge}$$

La convergenza assoluta impedisce che il valore finito dell’integrale dipenda solo da cancellazioni tra aree positive e negative. È una condizione più robusta della convergenza semplice e viene spesso richiesta nelle applicazioni fisiche.

12. Serie di potenze e sviluppi in serie

Serie di potenze

$$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n$$

Una serie di potenze è una serie di funzioni centrata in $x_0$. Per ogni valore fissato di $x$, diventa una serie numerica. Il problema principale è capire per quali $x$ converge.

Raggio di convergenza

$$R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$$

Il raggio $R$ determina l’intervallo centrale di convergenza: la serie converge per $|x-x_0|<R$ e diverge per $|x-x_0|>R$. Agli estremi $x=x_0\pm R$ il criterio non decide: bisogna studiare separatamente le serie numeriche ottenute.

Calcolo del raggio con il rapporto

$$\lim_{n\to+\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=R$$

Quando il limite esiste, questa formula è spesso più pratica della definizione con il limite superiore. Si applica ai coefficienti della serie, non all’intero termine $a_n(x-x_0)^n$. Dopo aver trovato $R$, resta sempre il controllo degli estremi.

Derivazione termine a termine

$$\left(\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n\right)' = \sum_{n=1}^{+\infty}n a_n(x-x_0)^{n-1}$$

Dentro l’intervallo di convergenza si può derivare una serie di potenze termine a termine. Il raggio di convergenza resta lo stesso. Questa proprietà rende le serie di potenze molto più regolari delle serie di funzioni generiche.

Integrazione termine a termine

$$\int \sum_{n=0}^{+\infty}a_n(x-x_0)^n\,\mathrm{d}x = \sum_{n=0}^{+\infty}a_n\frac{(x-x_0)^{n+1}}{n+1}+C$$

Anche l’integrazione termine a termine è ammessa all’interno del raggio di convergenza. Questa formula permette di costruire sviluppi per logaritmi, arcotangenti e altre funzioni partendo da serie geometriche elementari.

Serie di Taylor

$$f(x)\sim\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

La serie di Taylor usa tutte le derivate della funzione in $x_0$. Il simbolo qui indica lo sviluppo formale: non basta che la serie sia scritta, bisogna verificare che converga a $f(x)$ nell’intervallo considerato. Alcune funzioni lisce hanno serie di Taylor che non le rappresenta fuori dal punto di sviluppo.

Serie notevoli

$$e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!},\qquad \sin x=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\qquad \cos x=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$

Queste serie convergono per ogni $x\in\mathbb{R}$. L’esponenziale contiene tutte le potenze, il seno solo potenze dispari e il coseno solo potenze pari. I fattoriali al denominatore garantiscono una crescita dei denominatori abbastanza rapida da produrre convergenza globale.

Logaritmo e arcotangente

$$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n},\qquad -1<x\le1$$ $$\arctan x=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\qquad |x|\le1$$

Gli intervalli indicano dove le serie rappresentano le funzioni con le consuete convenzioni sugli estremi. Per il logaritmo, $x=-1$ è escluso perché $\ln(0)$ non esiste; $x=1$ è ammesso e produce la serie armonica alternata. Per l’arcotangente, agli estremi si ottiene convergenza alternata.

13. Equazioni differenziali ordinarie elementari

Forma generale del primo ordine

$$y'=f(x,y)$$

Un’equazione differenziale collega una funzione incognita $y(x)$ alle sue derivate. In Analisi I compare spesso come applicazione di derivate e integrali: crescita, decadimento, raffreddamento, carica di un condensatore, moto rettilineo e bilanci elementari.

Problema di Cauchy

$$\begin{cases} y'=f(x,y),\\ y(x_0)=y_0. \end{cases}$$

L’equazione da sola descrive una famiglia di soluzioni. La condizione iniziale seleziona la soluzione che passa per il punto $(x_0,y_0)$. Nei modelli ingegneristici questa condizione rappresenta lo stato iniziale del sistema.

Equazioni a variabili separabili

$$y'=g(x)h(y) \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}y}{h(y)}=g(x)\,\mathrm{d}x$$

La separazione porta tutti i termini con $y$ da una parte e quelli con $x$ dall’altra. Poi si integra. Bisogna fare attenzione ai valori per cui $h(y)=0$: dividere per $h(y)$ può eliminare soluzioni costanti.

Equazione lineare del primo ordine

$$y'+a(x)y=b(x)$$

È lineare perché $y$ e $y'$ compaiono alla prima potenza e non sono moltiplicati tra loro. La funzione $a(x)$ regola il termine proporzionale allo stato, mentre $b(x)$ è un ingresso o forzante.

Fattore integrante

$$\mu(x)=e^{\int a(x)\,\mathrm{d}x},\qquad \bigl(\mu(x)y(x)\bigr)'=\mu(x)b(x)$$

Il fattore integrante trasforma l’equazione lineare in una derivata di prodotto. Dopo la trasformazione basta integrare entrambi i membri. La costante della primitiva di $\int a(x)\,\mathrm{d}x$ può essere assorbita nella costante finale della soluzione.

Crescita e decadimento esponenziale

$$y'=ky \quad\Longrightarrow\quad y(x)=Ce^{kx}$$

Se la velocità di variazione è proporzionale alla quantità presente, la soluzione è esponenziale. Se $k>0$ si ha crescita; se $k<0$ decadimento. La costante $C$ si determina con la condizione iniziale.

Equazione lineare del secondo ordine a coefficienti costanti

$$ay''+by'+cy=0,\qquad a\ne0$$

Questa equazione compare nei modelli di oscillazione, vibrazione e circuiti. Si cerca una soluzione del tipo $y=e^{\lambda x}$, perché derivare un’esponenziale restituisce multipli della stessa esponenziale.

Equazione caratteristica

$$a\lambda^2+b\lambda+c=0$$

Sostituendo $y=e^{\lambda x}$ nell’equazione differenziale si ottiene un’equazione algebrica. Le radici determinano la forma della soluzione. Radici reali distinte, radice doppia e radici complesse coniugate producono tre famiglie diverse di soluzioni.

Soluzioni nei tre casi principali

$$\lambda_1\ne\lambda_2\in\mathbb{R} \Longrightarrow y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$$ $$\lambda_1=\lambda_2=\lambda \Longrightarrow y=(C_1+C_2x)e^{\lambda x}$$ $$\lambda=\alpha\pm i\beta \Longrightarrow y=e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\bigr)$$

Nel primo caso le due esponenziali sono indipendenti. Nel caso di radice doppia serve il fattore $x$ per ottenere una seconda soluzione indipendente. Nel caso complesso, la parte reale $\alpha$ governa crescita o smorzamento, mentre $\beta$ governa l’oscillazione.

14. Schemi ricorrenti di risoluzione

Limite con forma $0/0$

$$\frac{f(x)}{g(x)},\qquad f(x)\to0,\quad g(x)\to0$$

Prima si cerca una semplificazione algebrica o un equivalente notevole. Se la struttura è differenziale e le ipotesi sono verificate, si può usare de l’Hôpital. Se le funzioni sono sviluppabili, Taylor spesso è il metodo più pulito perché mostra l’ordine del primo termine non nullo.

Limite con radici

$$\sqrt{A(x)}-\sqrt{B(x)} = \frac{A(x)-B(x)}{\sqrt{A(x)}+\sqrt{B(x)}}$$

La razionalizzazione elimina una differenza di radici trasformandola in una differenza degli argomenti. È utile quando il numeratore tende a zero e la forma originale nasconde il fattore dominante.

Studio completo di una funzione

$$D_f,\quad \text{segno},\quad \limiti,\quad f',\quad f'',\quad \text{asintoti},\quad \text{grafico}$$

L’ordine non è casuale. Il dominio viene prima di tutto; poi si studiano zeri e segno; i limiti descrivono bordi e punti esclusi; la derivata prima dà monotonia ed estremi; la derivata seconda dà concavità e flessi; infine si ricompone il grafico verificando coerenza tra tutte le informazioni.

Scelta di un criterio per serie

$$a_n\sim b_n,\qquad \frac{a_{n+1}}{a_n},\qquad \sqrt[n]{a_n},\qquad (-1)^n a_n$$

Se il termine assomiglia a una potenza di $n$, il confronto asintotico è naturale. Se contiene fattoriali o prodotti, conviene il rapporto. Se contiene potenze ennesime, conviene la radice. Se alterna segno con ampiezza decrescente, si considera Leibniz e poi si controlla la convergenza assoluta.

Scelta di una tecnica di integrazione

$$\text{composta}\Rightarrow\text{sostituzione},\qquad \text{prodotto}\Rightarrow\text{parti},\qquad \text{razionale}\Rightarrow\text{fratti semplici}$$

La tecnica non si sceglie a memoria, ma dalla forma dell’integrando. Una funzione composta con derivata interna suggerisce sostituzione; un prodotto con un fattore che si semplifica derivandolo suggerisce parti; una funzione razionale richiede divisione e decomposizione.

Controllo finale delle ipotesi

$$\text{dominio},\quad \text{continuità},\quad \text{derivabilità},\quad \text{segno},\quad \text{convergenza}$$

Ogni formula del formulario porta con sé condizioni di validità. Prima di applicare un teorema bisogna controllare dove la funzione è definita, se è continua o derivabile dove serve, se i termini sono non negativi quando il criterio lo richiede, e se gli estremi problematici sono stati trattati con limiti appropriati.