Formulario di Analisi Matematica I

Formulario completo di Analisi Matematica I per ingegneria. Il programma proposto è solido: lo rendo più organico aggiungendo prerequisiti espliciti, strumenti algebrici, criterio operativo per esercizi e alcune soglie teoriche che spesso nei corsi vengono date per sottintese.

Il formulario non va letto come un semplice elenco di formule. Ogni blocco è costruito in tre livelli: prima la formula, poi le condizioni in cui può essere usata, infine il commento operativo che spiega come riconoscerla dentro un esercizio. Dove il rischio di errore è alto, vengono aggiunti passaggi guidati e procedure standard.

L’ordine consigliato è:

prerequisiti logici, numerici e algebrici;
successioni e limiti;
continuità e confronto locale;
calcolo differenziale, Taylor e studio di funzione;
numeri complessi;
integrali indefiniti e definiti;
serie numeriche, successioni e serie di funzioni.

1. Prerequisiti logici, insiemistici e numerici

Logica matematica minima

Le definizioni di Analisi I sono quasi sempre costruite con quantificatori. L’ordine dei quantificatori è decisivo.

\displaystyle \forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0:\ P(\varepsilon,\delta)

significa che, scelta una precisione arbitraria $\varepsilon$ , deve essere possibile trovare una tolleranza $\delta$ che realizzi la proprietà richiesta. In generale $\delta$ dipende da $\varepsilon$ .

Negazione dei quantificatori:

\displaystyle \neg(\forall x\ P(x)) \equiv \exists x:\neg P(x), \qquad \neg(\exists x\ P(x)) \equiv \forall x:\neg P(x).

Implicazione:

\displaystyle P\Rightarrow Q \quad\text{e falsa solo se }P\text{ e vera e }Q\text{ e falsa.}

Contronominale:

\displaystyle P\Rightarrow Q \quad\Longleftrightarrow\quad \neg Q\Rightarrow\neg P.

Commento operativo: nelle dimostrazioni di limite non si parte quasi mai da $\delta$ ; si parte da $\varepsilon$ , si manipola la disuguaglianza finale e si ricava quanto piccolo deve essere l’intorno.

Insiemi e intervalli

Operazioni fondamentali:

\displaystyle A\cup B,\qquad A\cap B,\qquad A\setminus B,\qquad A^c.

Intervalli reali:

\displaystyle (a,b),\quad [a,b],\quad (a,b],\quad [a,b),\quad (a,+\infty),\quad (-\infty,b).

Intorno di centro $x_0$ e raggio $r>0$ :

\displaystyle I(x_0,r)=(x_0-r,x_0+r).

Intorno bucato:

\displaystyle I^\ast(x_0,r)=I(x_0,r)\setminus\{x_0\}.

Punto interno: $x_0$ è interno ad $A$ se esiste $r>0$ tale che $I(x_0,r)\subset A$ .

Punto di accumulazione: $x_0$ è di accumulazione per $A$ se ogni intorno bucato di $x_0$ contiene punti di $A$ .

Insiemi numerici

Catena fondamentale:

\displaystyle \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}.

Nei corsi di Analisi I la completezza di $\mathbb{R}$ è il fatto strutturale più importante: ogni insieme non vuoto e superiormente limitato ammette estremo superiore.

\displaystyle A\subset\mathbb{R},\ A\ne\varnothing,\ A\text{ superiormente limitato} \quad\Rightarrow\quad \exists \sup A\in\mathbb{R}.

Massimo e minimo:

\displaystyle M=\max A \Longleftrightarrow M\in A\ \text{e}\ \forall x\in A,\ x\le M,

\displaystyle m=\min A \Longleftrightarrow m\in A\ \text{e}\ \forall x\in A,\ m\le x.

Supremo e infimo:

\displaystyle s=\sup A

se $s$ è un maggiorante di $A$ ed è il più piccolo tra i maggioranti. Non è necessario che $s$ appartenga ad $A$ .

Valore assoluto

Definizione:

\displaystyle |x|= \begin{cases} x, & x\ge 0,\\ -x, & x<0. \end{cases}

Proprietà fondamentali:

\displaystyle |x|\ge0,\qquad |x|=0\Longleftrightarrow x=0,

\displaystyle |xy|=|x||y|,\qquad \left|\dfrac{x}{y}\right|=\dfrac{|x|}{|y|}\quad (y\ne0),

\displaystyle |x+y|\le |x|+|y|,

\displaystyle \big||x|-|y|\big|\le |x-y|.

Disequazioni:

\displaystyle |x-a|<r \Longleftrightarrow a-r<x<a+r,

\displaystyle |x-a|\le r \Longleftrightarrow a-r\le x\le a+r,

\displaystyle |x-a|>r \Longleftrightarrow x<a-r\ \text{oppure}\ x>a+r.

Commento operativo: $|x-a|$ è una distanza. Dire $|x-a|<r$ significa dire che $x$ sta nell’intorno di centro $a$ e raggio $r$ .

2. Algebra, disequazioni e funzioni elementari

Prodotti notevoli e fattorizzazioni

\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, \qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2,

\displaystyle (a+b)(a-b)=a^2-b^2,

\displaystyle a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),

\displaystyle a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).

Binomio di Newton:

\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k.

Commento operativo: davanti a una forma $\dfrac{0}{0}$ razionale, prima di usare strumenti avanzati bisogna tentare fattorizzazione, semplificazione o razionalizzazione.

Potenze, esponenziali e logaritmi

Per $a>0$ :

\displaystyle a^x a^y=a^{x+y}, \qquad \dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}, \qquad (a^x)^y=a^{xy}.

Logaritmo:

\displaystyle \log_a x=y \quad\Longleftrightarrow\quad a^y=x, \qquad a>0,\ a\ne1,\ x>0.

Proprietà:

\displaystyle \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,

\displaystyle \log_a\left(\dfrac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y,

\displaystyle \log_a(x^\alpha)=\alpha\log_a x,

\displaystyle \log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a}.

Funzioni inverse:

\displaystyle e^{\ln x}=x\quad (x>0), \qquad \ln(e^x)=x\quad (x\in\mathbb{R}).

Commento operativo: ogni logaritmo impone una condizione di positività sull’argomento. Prima di semplificare, scrivere il dominio.

Trigonometria essenziale

Identità fondamentali:

\displaystyle \sin^2 x+\cos^2 x=1,

\displaystyle 1+\tan^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}, \qquad 1+\cot^2 x=\dfrac{1}{\sin^2 x}.

Formule di addizione:

\displaystyle \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b,

\displaystyle \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.

Duplicazione:

\displaystyle \sin(2x)=2\sin x\cos x,

\displaystyle \cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1.

Tangente:

\displaystyle \tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}.

Funzioni iperboliche

Definizioni:

\displaystyle \sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}, \qquad \cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2},

\displaystyle \tanh x=\dfrac{\sinh x}{\cosh x}.

Identità:

\displaystyle \cosh^2x-\sinh^2x=1,

\displaystyle 1-\tanh^2x=\dfrac{1}{\cosh^2x}.

3. Successioni numeriche

Una successione reale è una funzione

\displaystyle a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}, \qquad n\mapsto a_n.

Limite finito

Si dice che

\displaystyle \lim_{n\to+\infty}a_n=L

\displaystyle \forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N}:\ n\ge N\Rightarrow |a_n-L|<\varepsilon.

Commento passo passo:

$\varepsilon$ è la precisione richiesta sul valore della successione.
$N$ è l’indice da cui in poi la successione entra definitivamente nella fascia $(L-\varepsilon,L+\varepsilon)$ .
La parola chiave è definitivamente: non importa cosa succede per i primi termini.

Limite infinito

\displaystyle a_n\to+\infty

\displaystyle \forall M>0,\ \exists N\in\mathbb{N}:\ n\ge N\Rightarrow a_n>M.

Analogamente,

\displaystyle a_n\to-\infty

\displaystyle \forall M>0,\ \exists N\in\mathbb{N}:\ n\ge N\Rightarrow a_n<-M.

Algebra dei limiti per successioni

Se $a_n\to a$ e $b_n\to b$ , allora:

\displaystyle a_n+b_n\to a+b, \qquad a_n b_n\to ab,

\displaystyle \lambda a_n\to \lambda a, \qquad \dfrac{a_n}{b_n}\to\dfrac{a}{b}\quad\text{se }b\ne0.

Successioni monotone

Monotonia crescente:

\displaystyle a_{n+1}\ge a_n\quad\forall n.

Monotonia decrescente:

\displaystyle a_{n+1}\le a_n\quad\forall n.

Teorema:

\displaystyle \text{monotona e limitata}\quad\Rightarrow\quad\text{convergente}.

Più precisamente, se $(a_n)$ è crescente e superiormente limitata, allora

\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}.

Se $(a_n)$ è decrescente e inferiormente limitata, allora

\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}.

Sottosuccessioni e Bolzano-Weierstrass

Una sottosuccessione è una successione del tipo

\displaystyle a_{n_k}, \qquad n_1<n_2<\cdots<n_k<\cdots.

Teorema di Bolzano-Weierstrass:

\displaystyle \text{ogni successione reale limitata ammette una sottosuccessione convergente}.

Conseguenza utile: se due sottosuccessioni convergono a limiti diversi, la successione di partenza non converge.

Criterio di Cauchy

Una successione è di Cauchy se

\displaystyle \forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N}:\ m,n\ge N\Rightarrow |a_n-a_m|<\varepsilon.

In $\mathbb{R}$ :

\displaystyle a_n\text{ converge}\quad\Longleftrightarrow\quad a_n\text{ e di Cauchy}.

Commento operativo: il criterio di Cauchy è utile quando non si conosce il candidato limite.

Limiti notevoli per successioni

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n=e^x,

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1\quad (a>0),

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1,

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{n^\alpha}{a^n}=0 \quad (a>1,\ \alpha>0),

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{a^n}{n!}=0 \quad (a>0).

Gerarchia per $n\to\infty$ :

\displaystyle \log n \ll n^\alpha \ll a^n \ll n! \ll n^n \qquad(\alpha>0,\ a>1).

4. Limiti di funzione

Definizione $\varepsilon$ - $\delta$

Sia $x_0$ punto di accumulazione del dominio di $f$ . Si dice che

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=L

\displaystyle \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0:\ 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.

Il vincolo $0<|x-x_0|$ dice che $x$ si avvicina a $x_0$ senza necessariamente coincidere con $x_0$ . Il valore $f(x_0)$ , se esiste, non incide direttamente sul limite.

Limiti laterali

\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L

se $x$ tende a $x_0$ con $x<x_0$ .

\displaystyle \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L

se $x$ tende a $x_0$ con $x>x_0$ .

Il limite bilatero esiste se e solo se esistono i due limiti laterali e coincidono:

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=L \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L.

Algebra dei limiti

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=\ell, \qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=m,

allora:

\displaystyle \lim(f+g)=\ell+m, \qquad \lim(fg)=\ell m,

\displaystyle \lim(\lambda f)=\lambda\ell, \qquad \lim\dfrac{f}{g}=\dfrac{\ell}{m}\quad(m\ne0).

Teorema dei carabinieri

Se in un intorno bucato di $x_0$ vale

\displaystyle f(x)\le g(x)\le h(x)

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}h(x)=L,

allora

\displaystyle \lim_{x\to x_0}g(x)=L.

Uso tipico:

\displaystyle -|x|\le x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\le |x| \quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to0}x\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=0.

Forme indeterminate

Le forme indeterminate principali sono:

\displaystyle \dfrac{0}{0},\qquad \dfrac{\infty}{\infty},\qquad 0\cdot\infty,\qquad \infty-\infty,

\displaystyle 0^0,\qquad 1^\infty,\qquad \infty^0.

Strategia:

riconoscere la forma;
trasformarla in rapporto, prodotto o esponenziale;
applicare fattorizzazioni, equivalenze, Taylor o de l’Hopital;
controllare sempre il dominio.

Limiti notevoli

Per $x\to0$ :

\displaystyle \dfrac{\sin x}{x}\to1,

\displaystyle \dfrac{1-\cos x}{x^2}\to\dfrac{1}{2},

\displaystyle \dfrac{\tan x}{x}\to1,

\displaystyle \dfrac{\arcsin x}{x}\to1, \qquad \dfrac{\arctan x}{x}\to1,

\displaystyle \dfrac{e^x-1}{x}\to1,

\displaystyle \dfrac{a^x-1}{x}\to\ln a\quad(a>0),

\displaystyle \dfrac{\ln(1+x)}{x}\to1,

\displaystyle \dfrac{(1+x)^\alpha-1}{x}\to\alpha,

\displaystyle \left(1+x\right)^{\dfrac{1}{x}}\to e.

Per $x\to+\infty$ :

\displaystyle \left(1+\dfrac{a}{x}\right)^x\to e^a,

\displaystyle \dfrac{\ln x}{x^\alpha}\to0\quad(\alpha>0),

\displaystyle \dfrac{x^\alpha}{a^x}\to0\quad(a>1,\ \alpha>0).

5. Continuità

Definizione

Una funzione $f$ è continua in $x_0$ se:

$f(x_0)$ è definita;
esiste $\lim_{x\to x_0}f(x)$ ;
vale

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).

Equivalentemente:

\displaystyle \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0:\ |x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.

Operazioni con funzioni continue

Somma, prodotto, quoziente con denominatore non nullo e composizione di funzioni continue sono continue.

Se $f$ è continua in $x_0$ e $g$ è continua in $f(x_0)$ , allora

\displaystyle g\circ f

è continua in $x_0$ .

Tipi di discontinuità

Discontinuità eliminabile:

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=L\in\mathbb{R}

ma $f(x_0)$ non esiste oppure $f(x_0)\ne L$ .

Discontinuità di salto:

\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x)\ne \lim_{x\to x_0^+}f(x),

con entrambi i limiti laterali finiti.

Discontinuità infinita:

almeno uno dei limiti laterali è infinito.

Discontinuità oscillatoria:

il limite non esiste per oscillazione persistente, come accade per $\sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ in $x=0$ .

Teorema di Weierstrass

Se $f$ è continua su $[a,b]$ , allora $f$ ammette massimo e minimo assoluti:

\displaystyle \exists x_m,x_M\in[a,b]: \quad f(x_m)\le f(x)\le f(x_M)\quad\forall x\in[a,b].

Commento operativo: servono entrambe le ipotesi, continuità e intervallo chiuso e limitato.

Teorema degli zeri

Se $f$ è continua su $[a,b]$ e

\displaystyle f(a)f(b)<0,

allora esiste $c\in(a,b)$ tale che

\displaystyle f(c)=0.

Teorema dei valori intermedi

Se $f$ è continua su $[a,b]$ , allora assume tutti i valori compresi tra $f(a)$ e $f(b)$ .

In formula: per ogni $y$ compreso tra $f(a)$ e $f(b)$ , esiste $c\in[a,b]$ tale che

\displaystyle f(c)=y.

Teorema di Darboux

Le derivate hanno la proprietà dei valori intermedi: se $f$ è derivabile su un intervallo, allora $f'$ non può avere discontinuità a salto.

Teorema di Heine-Cantor

Se $f$ è continua su un compatto $[a,b]$ , allora è uniformemente continua:

\displaystyle \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0:\ |x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon

per ogni $x,y\in[a,b]$ .

6. Confronto locale: Landau, equivalenze, gerarchie

Simboli di Landau

Per $x\to x_0$ :

\displaystyle f(x)=o(g(x))

\displaystyle \dfrac{f(x)}{g(x)}\to0.

Si legge: $f$ è trascurabile rispetto a $g$ .

\displaystyle f(x)=O(g(x))

se esistono $C>0$ e un intorno di $x_0$ tali che

\displaystyle |f(x)|\le C|g(x)|.

Si legge: $f$ è dominata da $g$ a meno di una costante.

Equivalenza asintotica:

\displaystyle f(x)\sim g(x)

\displaystyle \dfrac{f(x)}{g(x)}\to1.

Regole utili

Se $f\sim g$ e $h\sim k$ , allora:

\displaystyle fh\sim gk, \qquad \dfrac{f}{h}\sim\dfrac{g}{k}

quando i rapporti sono definiti.

Attenzione: in generale non è lecito sostituire equivalenti dentro somme, perché possono verificarsi cancellazioni.

Esempio:

\displaystyle \sin x\sim x,\qquad \tan x\sim x,

\displaystyle \tan x-\sin x

richiede termini di ordine superiore.

Equivalenze fondamentali per $x\to0$

\displaystyle \sin x\sim x, \qquad \tan x\sim x, \qquad \arcsin x\sim x, \qquad \arctan x\sim x,

\displaystyle 1-\cos x\sim\dfrac{x^2}{2},

\displaystyle e^x-1\sim x, \qquad \ln(1+x)\sim x,

\displaystyle (1+x)^\alpha-1\sim \alpha x.

Gerarchia per $x\to+\infty$ :

\displaystyle \ln x \ll x^\alpha \ll a^x \ll x!

con $\alpha>0$ e $a>1$ .

7. Calcolo differenziale

Definizione di derivata

La derivata di $f$ in $x_0$ è

\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},

se il limite esiste ed è finito.

Interpretazioni:

coefficiente angolare della tangente al grafico;
velocità istantanea di variazione;
miglior coefficiente lineare nell’approssimazione locale.

Approssimazione lineare:

\displaystyle f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+o(h).

Derivate elementari

\displaystyle (c)'=0, \qquad (x)'=1,

\displaystyle (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1},

\displaystyle (e^x)'=e^x, \qquad (a^x)'=a^x\ln a,

\displaystyle (\ln x)'=\dfrac{1}{x}, \qquad (\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a},

\displaystyle (\sin x)'=\cos x, \qquad (\cos x)'=-\sin x,

\displaystyle (\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x,

\displaystyle (\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \qquad (\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}},

\displaystyle (\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}.

Funzioni iperboliche:

\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x, \qquad (\cosh x)'=\sinh x, \qquad (\tanh x)'=\dfrac{1}{\cosh^2x}.

Regole di derivazione

Linearità:

\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'.

Prodotto:

\displaystyle (fg)'=f'g+fg'.

Quoziente:

\displaystyle \left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}, \qquad g\ne0.

Composizione:

\displaystyle (f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x).

Funzione inversa:

se $y=f(x)$ , $f'(x)\ne0$ e l’inversa esiste localmente, allora

\displaystyle (f^{-1})'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}.

Derivata logaritmica:

se $f(x)>0$ ,

\displaystyle (\ln f(x))'=\dfrac{f'(x)}{f(x)}.

È utile per prodotti, potenze variabili e funzioni del tipo $u(x)^{v(x)}$ .

Differenziale

Il differenziale è

\displaystyle df=f'(x)\,dx.

Approssima l’incremento:

\displaystyle \Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)\approx f'(x)\Delta x.

Errore assoluto propagato:

\displaystyle |\Delta f|\approx |f'(x)|\,|\Delta x|.

Errore relativo:

\displaystyle \dfrac{|\Delta f|}{|f(x)|}\approx \left|\dfrac{f'(x)}{f(x)}\right|\,|\Delta x|.

8. Teoremi del calcolo differenziale

Fermat

Se $f$ ha un estremo locale in $x_0$ interno al dominio e $f$ è derivabile in $x_0$ , allora

\displaystyle f'(x_0)=0.

Attenzione: è condizione necessaria, non sufficiente.

Rolle

Se $f$ è continua su $[a,b]$ , derivabile su $(a,b)$ e

\displaystyle f(a)=f(b),

allora esiste $c\in(a,b)$ tale che

\displaystyle f'(c)=0.

Lagrange

Se $f$ è continua su $[a,b]$ e derivabile su $(a,b)$ , allora esiste $c\in(a,b)$ tale che

\displaystyle f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Conseguenze:

\displaystyle f'(x)\ge0\ \forall x\Rightarrow f\text{ crescente},

\displaystyle f'(x)\le0\ \forall x\Rightarrow f\text{ decrescente},

\displaystyle f'(x)=0\ \forall x\Rightarrow f\text{ costante}.

Cauchy

Se $f$ e $g$ sono continue su $[a,b]$ , derivabili su $(a,b)$ e $g'(x)\ne0$ , allora esiste $c\in(a,b)$ tale che

\displaystyle \dfrac{f'(c)}{g'(c)} = \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.

De l’Hopital

Per forme $\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$ , se $f$ e $g$ sono derivabili in un intorno bucato, $g'\ne0$ e

\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L,

allora, sotto le ipotesi standard del teorema,

\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L.

Commento operativo: de l’Hopital non è una licenza automatica. Prima bisogna verificare che la forma sia davvero $\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$ .

9. Taylor e sviluppi di Maclaurin

Formula di Taylor

Se $f$ è sufficientemente derivabile in un intorno di $x_0$ :

\displaystyle f(x)= \sum_{k=0}^{n} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n(x).

Resto di Peano:

\displaystyle R_n(x)=o((x-x_0)^n) \qquad (x\to x_0).

Resto di Lagrange:

\displaystyle R_n(x)= \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

per un opportuno $\xi$ compreso tra $x$ e $x_0$ .

Uso:

Peano per limiti e confronti locali;
Lagrange per stime esplicite dell’errore.

Sviluppi di Maclaurin notevoli

Per $x\to0$ :

\displaystyle e^x= 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+o(x^n).

\displaystyle \ln(1+x)= x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n}+o(x^n).

\displaystyle (1+x)^\alpha= 1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 +\dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots.

\displaystyle \sin x= x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots.

\displaystyle \cos x= 1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots.

\displaystyle \tan x=x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{15}+o(x^5).

\displaystyle \arctan x=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+o(x^5).

\displaystyle \arcsin x=x+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{3x^5}{40}+o(x^5).

\displaystyle \sinh x=x+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+o(x^5),

\displaystyle \cosh x=1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+o(x^4).

Metodo nei limiti con Taylor

Portare tutte le funzioni al punto di sviluppo, di solito $0$ .
Sviluppare fino al primo termine non nullo dopo le cancellazioni.
Semplificare il termine dominante.
Controllare che il resto sia di ordine superiore.

10. Studio di funzione

Schema operativo completo:

Dominio.
Simmetrie: pari, dispari, periodicità.
Intersezioni con gli assi.
Segno della funzione.
Limiti agli estremi del dominio.
Asintoti.
Derivata prima: monotonia, massimi, minimi, punti stazionari.
Derivata seconda: concavità, convessità, flessi.
Eventuali punti angolosi, cuspidi o tangenti verticali.
Grafico qualitativo coerente con tutti i dati.

Asintoti

Asintoto verticale:

\displaystyle x=x_0

\displaystyle \lim_{x\to x_0^\pm}f(x)=\pm\infty.

Asintoto orizzontale:

\displaystyle y=\ell

\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell.

Asintoto obliquo:

\displaystyle y=mx+q

con

\displaystyle m=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}, \qquad q=\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-mx),

se $m$ e $q$ sono finiti e $m\ne0$ .

Punti stazionari

Punto stazionario:

\displaystyle f'(x_0)=0.

Classificazione con la derivata prima:

se $f'$ passa da positiva a negativa: massimo locale;
se $f'$ passa da negativa a positiva: minimo locale;
se $f'$ non cambia segno: punto stazionario non estremo.

Classificazione con la derivata seconda:

\displaystyle f'(x_0)=0,\quad f''(x_0)>0 \Rightarrow x_0\text{ minimo locale},

\displaystyle f'(x_0)=0,\quad f''(x_0)<0 \Rightarrow x_0\text{ massimo locale}.

Se $f''(x_0)=0$ , il test è inconcludente.

Concavità e flessi

Convessità:

\displaystyle f''(x)>0.

Concavità:

\displaystyle f''(x)<0.

Flesso:

un punto in cui cambia la concavità. La condizione $f''(x_0)=0$ non basta: serve il cambio di segno di $f''$ oppure un criterio equivalente.

11. Numeri complessi

Forma algebrica

\displaystyle z=a+ib, \qquad i^2=-1.

Parte reale e immaginaria:

\displaystyle \operatorname{Re}z=a, \qquad \operatorname{Im}z=b.

Coniugato:

\displaystyle \overline{z}=a-ib.

Modulo:

\displaystyle |z|=\sqrt{a^2+b^2}.

Proprietà:

\displaystyle z\overline{z}=|z|^2, \qquad |zw|=|z||w|.

Inverso:

\displaystyle \dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline z}{|z|^2} \qquad(z\ne0).

Forma trigonometrica ed esponenziale

Se $z\ne0$ :

\displaystyle z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta), \qquad \rho=|z|.

Formula di Eulero:

\displaystyle e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.

Forma esponenziale:

\displaystyle z=\rho e^{i\theta}.

L’argomento è multivalore:

\displaystyle \arg z=\theta+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

De Moivre e radici

Formula di De Moivre:

\displaystyle (\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta).

\displaystyle z=\rho e^{i\theta},

allora

\displaystyle z^n=\rho^n e^{in\theta}.

Radici $n$ -esime:

\displaystyle w_k=\rho^{\dfrac{1}{n}} e^{i\dfrac{\theta+2k\pi}{n}}, \qquad k=0,1,\dots,n-1.

Le radici sono disposte sui vertici di un poligono regolare nel piano complesso.

Esponenziale e logaritmo complesso

\displaystyle e^{a+ib}=e^a(\cos b+i\sin b).

Logaritmo complesso:

\displaystyle \log z=\ln|z|+i(\arg z+2k\pi), \qquad k\in\mathbb{Z}.

Il logaritmo complesso è multivalore; per renderlo funzione occorre scegliere un ramo.

12. Integrali indefiniti

Primitive

Una primitiva di $f$ è una funzione $F$ tale che

\displaystyle F'(x)=f(x).

L’integrale indefinito è

\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C.

Integrali immediati

\displaystyle \int x^\alpha\,dx=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C \qquad(\alpha\ne-1),

\displaystyle \int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,

\displaystyle \int e^x\,dx=e^x+C, \qquad \int a^x\,dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C,

\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C, \qquad \int \cos x\,dx=\sin x+C,

\displaystyle \int \dfrac{1}{\cos^2x}\,dx=\tan x+C,

\displaystyle \int \dfrac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x+C,

\displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin x+C.

Integrazione per sostituzione

Se $u=g(x)$ , allora

\displaystyle \int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du.

Forma per integrali definiti:

\displaystyle \int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du.

Commento operativo: la sostituzione è naturale quando compare una funzione composta insieme alla derivata, anche moltiplicata per una costante.

Integrazione per parti

\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.

Scelta pratica LIATE:

logaritmiche;
inverse trigonometriche;
algebriche;
trigonometriche;
esponenziali.

Versione definita:

\displaystyle \int_a^b u(x)v'(x)\,dx = [u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx.

Funzioni razionali e fratti semplici

Per

\displaystyle \int \dfrac{P(x)}{Q(x)}\,dx

se $\deg P\ge\deg Q$ , prima si esegue la divisione:

\displaystyle \dfrac{P(x)}{Q(x)}=S(x)+\dfrac{R(x)}{Q(x)}.

Poi si fattorizza $Q(x)$ e si decompone in fratti semplici.

Esempi:

\displaystyle \dfrac{A}{x-a}, \qquad \dfrac{A}{(x-a)^k}, \qquad \dfrac{Ax+B}{x^2+px+q}.

Sostituzione di Weierstrass

Per integrali razionali in $\sin x$ e $\cos x$ :

\displaystyle t=\tan\dfrac{x}{2},

\displaystyle \sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}, \qquad dx=\dfrac{2}{1+t^2}\,dt.

13. Integrali definiti e impropri

Integrale di Riemann

L’integrale definito

\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx

è il limite delle somme di Riemann, quando tale limite esiste. Misura accumulazione orientata.

Proprietà:

\displaystyle \int_a^b f+\int_b^c f=\int_a^c f,

\displaystyle \int_a^b(\alpha f+\beta g)= \alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g,

\displaystyle f\le g\Rightarrow \int_a^b f\le \int_a^b g,

\displaystyle \left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \le \int_a^b |f(x)|\,dx.

Teorema fondamentale del calcolo

Se $f$ è continua su $[a,b]$ e

\displaystyle F(x)=\int_a^x f(t)\,dt,

allora

\displaystyle F'(x)=f(x).

Formula di Newton-Leibniz:

\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),

dove $F$ è una primitiva di $f$ .

Valore medio integrale

Valore medio:

\displaystyle f_{\mathrm{medio}}=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.

Se $f$ è continua su $[a,b]$ , esiste $c\in[a,b]$ tale che

\displaystyle f(c)=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.

Applicazioni geometriche

Area sotto il grafico, se $f\ge0$ :

\displaystyle A=\int_a^b f(x)\,dx.

Area tra curve, se $f\ge g$ :

\displaystyle A=\int_a^b (f(x)-g(x))\,dx.

Volume di rotazione attorno all’asse $x$ :

\displaystyle V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx.

Metodo delle corone:

\displaystyle V=\pi\int_a^b \left(R(x)^2-r(x)^2\right)\,dx.

Lunghezza di un arco:

\displaystyle L=\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx.

Superficie di rotazione attorno all’asse $x$ :

\displaystyle S=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx \qquad(f(x)\ge0).

Integrali impropri

Estremo infinito:

\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\,dx = \lim_{R\to+\infty}\int_a^R f(x)\,dx.

Singolarità in $a$ :

\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx.

Singolarità interna $c\in(a,b)$ :

\displaystyle \int_a^b f = \int_a^c f+\int_c^b f,

e i due integrali impropri devono convergere separatamente.

Integrali campione:

\displaystyle \int_1^{+\infty}\dfrac{1}{x^p}\,dx \begin{cases} \text{converge}, & p>1,\\ \text{diverge}, & p\le1, \end{cases}

\displaystyle \int_0^1\dfrac{1}{x^p}\,dx \begin{cases} \text{converge}, & p<1,\\ \text{diverge}, & p\ge1. \end{cases}

Funzioni Gamma e Beta

Funzione Gamma:

\displaystyle \Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt \qquad(x>0).

Proprietà:

\displaystyle \Gamma(x+1)=x\Gamma(x), \qquad \Gamma(n)=(n-1)!.

Funzione Beta:

\displaystyle B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt \qquad(x,y>0).

Relazione:

\displaystyle B(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.

14. Serie numeriche

Una serie è la somma formale

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n.

Si studia tramite le somme parziali:

\displaystyle s_N=\sum_{n=0}^{N}a_n.

La serie converge se la successione $(s_N)$ converge.

Condizione necessaria

\displaystyle \sum a_n

converge, allora

\displaystyle a_n\to0.

Contronominale:

\displaystyle a_n\not\to0 \quad\Rightarrow\quad \sum a_n\text{ diverge}.

Attenzione: $a_n\to0$ non basta per la convergenza.

Serie notevoli

Serie geometrica:

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}q^n = \dfrac{1}{1-q} \qquad(|q|<1).

Diverge per $|q|\ge1$ .

Serie armonica:

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} \quad\text{diverge}.

Serie armonica generalizzata:

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^p} \begin{cases} \text{converge}, & p>1,\\ \text{diverge}, & p\le1. \end{cases}

Serie telescopica:

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(b_n-b_{n+1}) = b_1-\lim_{n\to\infty}b_{n+1},

se il limite esiste.

Criteri per serie a termini non negativi

Criterio del confronto:

\displaystyle 0\le a_n\le b_n

definitivamente, allora:

\displaystyle \sum b_n\text{ converge}\Rightarrow \sum a_n\text{ converge},

\displaystyle \sum a_n\text{ diverge}\Rightarrow \sum b_n\text{ diverge}.

Confronto asintotico:

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\ell, \qquad 0<\ell<+\infty,

allora $\sum a_n$ e $\sum b_n$ hanno lo stesso carattere.

Criterio del rapporto:

\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|.

Allora:

\displaystyle L<1\Rightarrow\text{convergenza assoluta},

\displaystyle L>1\Rightarrow\text{divergenza},

\displaystyle L=1\Rightarrow\text{criterio inconcludente}.

Criterio della radice:

\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.

Allora:

\displaystyle L<1\Rightarrow\text{convergenza assoluta},

\displaystyle L>1\Rightarrow\text{divergenza},

\displaystyle L=1\Rightarrow\text{criterio inconcludente}.

Criterio dell’integrale:

se $f$ è positiva, continua, decrescente e $a_n=f(n)$ , allora

\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty}a_n

\displaystyle \int_N^{+\infty}f(x)\,dx

hanno lo stesso carattere.

Criterio di condensazione di Cauchy:

se $a_n\ge0$ è decrescente, allora

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n

\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}2^k a_{2^k}

hanno lo stesso carattere.

Serie a segno alterno

Criterio di Leibniz:

se $a_n\ge0$ , $a_n$ è decrescente definitivamente e

\displaystyle a_n\to0,

allora

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n a_n

converge.

Stima del resto:

\displaystyle |R_N|\le a_{N+1}.

Convergenza assoluta e condizionata

Convergenza assoluta:

\displaystyle \sum |a_n|\text{ converge}.

Allora anche $\sum a_n$ converge.

Convergenza condizionata:

\displaystyle \sum a_n\text{ converge ma }\sum |a_n|\text{ diverge}.

Teorema di riordinamento di Riemann:

una serie reale condizionatamente convergente può essere riordinata in modo da convergere a qualunque valore reale, oppure divergere. Perciò i riordinamenti sono innocui solo in presenza di convergenza assoluta.

15. Successioni e serie di funzioni

Convergenza puntuale

Una successione di funzioni $f_n:E\to\mathbb{R}$ converge puntualmente a $f$ se

\displaystyle \forall x\in E,\qquad \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x).

Qui l’indice $N$ può dipendere da $x$ .

Convergenza uniforme

$f_n$ converge uniformemente a $f$ su $E$ se

\displaystyle \sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|\to0.

Equivalentemente:

\displaystyle \forall\varepsilon>0,\ \exists N:\ n\ge N\Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon

per ogni $x\in E$ .

La differenza rispetto alla convergenza puntuale è che $N$ non dipende da $x$ .

Teoremi di scambio

Se $f_n$ sono continue e $f_n\to f$ uniformemente, allora $f$ è continua.

Se $f_n\to f$ uniformemente su $[a,b]$ , allora

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx.

Per lo scambio con la derivata servono ipotesi più forti: tipicamente convergenza puntuale in un punto e convergenza uniforme delle derivate.

Serie di funzioni

La serie

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}f_n(x)

converge puntualmente o uniformemente se converge puntualmente o uniformemente la successione delle somme parziali

\displaystyle S_N(x)=\sum_{n=0}^{N}f_n(x).

Criterio di Weierstrass:

\displaystyle |f_n(x)|\le M_n\quad\forall x\in E

\displaystyle \sum M_n

converge, allora

\displaystyle \sum f_n

converge uniformemente e assolutamente su $E$ .

Serie di potenze

Forma generale:

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n.

Raggio di convergenza:

\displaystyle \dfrac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}.

Se esiste il limite del rapporto:

\displaystyle R=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{c_n}{c_{n+1}}\right|.

La serie converge assolutamente per

\displaystyle |x-x_0|<R

e diverge per

\displaystyle |x-x_0|>R.

I punti di bordo

\displaystyle x=x_0\pm R

vanno studiati separatamente.

Dentro l’intervallo di convergenza una serie di potenze si può derivare e integrare termine a termine:

\displaystyle \left(\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n\right)' = \sum_{n=1}^{\infty}n c_n(x-x_0)^{n-1},

\displaystyle \int \sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n\,dx = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{c_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}+C.

16. Schede didattiche passo-passo

Questa sezione raccoglie le procedure più frequenti d’esame. L’obiettivo non è sostituire la teoria precedente, ma mostrare come le formule si mettono in moto.

Dimostrare il limite di una successione con $\varepsilon$ - $N$

Problema tipo:

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=L.

Passo 1: scrivere la disuguaglianza da ottenere.

\displaystyle |a_n-L|<\varepsilon.

Questa è la destinazione del calcolo. Non si cerca subito $N$ ; prima si semplifica il termine $|a_n-L|$ .

Passo 2: stimare $|a_n-L|$ con una quantità più semplice.

Se, ad esempio,

\displaystyle |a_n-L|\le \dfrac{C}{n},

allora basta imporre

\displaystyle \dfrac{C}{n}<\varepsilon.

Passo 3: isolare $n$ .

\displaystyle n>\dfrac{C}{\varepsilon}.

Passo 4: scegliere un indice intero.

\displaystyle N>\dfrac{C}{\varepsilon}.

Una scelta sempre lecita è

\displaystyle N=\left\lfloor \dfrac{C}{\varepsilon}\right\rfloor+1.

Passo 5: concludere correttamente.

Per ogni $n\ge N$ si ha

\displaystyle |a_n-L|\le \dfrac{C}{n}\le \dfrac{C}{N}<\varepsilon.

Commento didattico: in una dimostrazione $\varepsilon$ - $N$ , $N$ non deve essere il migliore possibile. Deve solo funzionare. Una scelta più grande è sempre accettabile.

Calcolare un limite di funzione con metodo ordinato

Problema tipo:

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x).

Passo 1: controllare il dominio vicino a $x_0$ .

Questo evita di usare passaggi illegittimi. Ad esempio, con logaritmi e radici bisogna controllare positività e non negatività degli argomenti.

Passo 2: sostituire formalmente $x=x_0$ .

Se si ottiene un numero finito, spesso il limite è immediato:

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)

quando $f$ è continua in $x_0$ .

Passo 3: se compare una forma indeterminata, classificarla.

Le forme più comuni sono:

\displaystyle \dfrac{0}{0},\quad \dfrac{\infty}{\infty},\quad 0\cdot\infty,\quad \infty-\infty,\quad 1^\infty.

Passo 4: scegliere la trasformazione.

Per una forma razionale $\dfrac{0}{0}$ : fattorizzare e semplificare.

Per radici: razionalizzare.

Per esponenziali del tipo $1^\infty$ : passare al logaritmo.

Per differenze con funzioni notevoli: usare Taylor.

Passo 5: usare il primo termine dominante.

Esempio di lettura:

\displaystyle \sin x \sim x,\qquad 1-\cos x\sim \dfrac{x^2}{2}.

Allora

\displaystyle \dfrac{1-\cos x}{x\sin x} \sim \dfrac{\dfrac{x^2}{2}}{x\cdot x} =\dfrac{1}{2}.

Commento didattico: le equivalenze sono sicure in prodotti e quozienti. Nelle somme bisogna fare attenzione, perché i termini principali possono cancellarsi.

Gestire una forma $1^\infty$

Problema tipo:

\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)^{g(x)}

con

\displaystyle f(x)\to1,\qquad g(x)\to\infty.

Passo 1: porre

\displaystyle y=f(x)^{g(x)}.

Passo 2: prendere il logaritmo.

\displaystyle \ln y=g(x)\ln f(x).

Passo 3: calcolare il limite dell’esponente logaritmico.

\displaystyle \lim_{x\to x_0}g(x)\ln f(x)=\ell,

allora

\displaystyle \lim_{x\to x_0} y=e^\ell.

Passo 4: usare l’equivalenza

\displaystyle \ln(1+u)\sim u \qquad(u\to0).

Commento didattico: nelle potenze variabili il limite vero si decide quasi sempre sul logaritmo. Prima si scende dalla potenza al prodotto, poi si risale con l’esponenziale.

Studiare continuità e derivabilità in un punto con parametro

Problema tipo:

\displaystyle f(x)= \begin{cases} g(x), & x\ne x_0,\\ A, & x=x_0. \end{cases}

Passo 1: continuità.

Calcolare

\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}g(x), \qquad \lim_{x\to x_0^+}g(x).

Se i due limiti laterali sono uguali a $L$ , allora la continuità richiede

\displaystyle A=L.

Passo 2: derivabilità.

Prima deve valere la continuità. Poi si calcola

\displaystyle \lim_{h\to0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.

Se ci sono formule diverse a destra e a sinistra, si calcolano:

\displaystyle \lim_{h\to0^-} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \qquad \lim_{h\to0^+} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.

La derivata esiste se i due limiti sono finiti e uguali.

Commento didattico: non ha senso imporre la derivabilità prima della continuità. Ogni funzione derivabile in un punto è continua in quel punto.

Usare Taylor in un limite

Problema tipo:

\displaystyle \lim_{x\to0} \dfrac{F(x)}{G(x)}.

Passo 1: sviluppare numeratore e denominatore attorno a $0$ .

Passo 2: non fermarsi troppo presto. Bisogna sviluppare fino al primo termine che non si cancella.

Esempio:

\displaystyle e^x-1-x = \left(1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)\right)-1-x = \dfrac{x^2}{2}+o(x^2).

Passo 3: confrontare gli ordini.

\displaystyle F(x)=a x^p+o(x^p), \qquad G(x)=b x^q+o(x^q),

con $a\ne0$ e $b\ne0$ , allora

\displaystyle \dfrac{F(x)}{G(x)} \sim \dfrac{a}{b}x^{p-q}.

Passo 4: concludere.

Se $p=q$ , il limite è $\dfrac{a}{b}$ .

Se $p>q$ , il limite è $0$ .

Se $p<q$ , il limite è infinito o non finito, con segno da studiare.

Commento didattico: Taylor è una macchina per trovare il primo termine non nullo. Tutto il resto è meno importante per il limite.

Studio di funzione passo-passo

Problema tipo:

\displaystyle y=f(x).

Passo 1: dominio.

Scrivere tutte le condizioni:

denominatori diversi da zero;
argomenti dei logaritmi positivi;
argomenti delle radici pari non negativi;
eventuali vincoli trigonometrici.

Il dominio è l’intersezione di tutte le condizioni.

Passo 2: simmetrie.

Calcolare $f(-x)$ .

\displaystyle f(-x)=f(x),

la funzione è pari.

\displaystyle f(-x)=-f(x),

la funzione è dispari.

Passo 3: segno e intersezioni.

Gli zeri risolvono

\displaystyle f(x)=0.

L’intersezione con l’asse $y$ esiste solo se $0$ appartiene al dominio.

Passo 4: limiti ai bordi del dominio.

Si studiano:

estremi finiti esclusi dal dominio;
$+\infty$ e $-\infty$ , se il dominio è illimitato.

Passo 5: asintoti.

Verticali:

\displaystyle \lim_{x\to x_0^\pm}f(x)=\pm\infty.

Orizzontali:

\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell.

Obliqui:

\displaystyle m=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}, \qquad q=\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-mx).

Passo 6: derivata prima.

Studiare il segno di $f'$ :

\displaystyle f'>0\Rightarrow f\text{ crescente}, \qquad f'<0\Rightarrow f\text{ decrescente}.

I cambi di segno individuano massimi e minimi.

Passo 7: derivata seconda.

Studiare il segno di $f''$ :

\displaystyle f''>0\Rightarrow\text{convessita}, \qquad f''<0\Rightarrow\text{concavita}.

Un flesso richiede cambio di concavità.

Passo 8: grafico.

Il grafico si disegna solo alla fine, come sintesi di dominio, limiti, asintoti, monotonia e concavità.

Commento didattico: se il grafico contraddice un limite o un segno di derivata, è il grafico a essere sbagliato, non il dato analitico.

Numeri complessi: scegliere la forma giusta

Passo 1: se devi sommare o sottrarre, usa la forma algebrica.

\displaystyle z=a+ib.

Passo 2: se devi moltiplicare, dividere, elevare a potenza o estrarre radici, usa la forma esponenziale.

\displaystyle z=\rho e^{i\theta}.

Passo 3: per trovare $\rho$ :

\displaystyle \rho=|z|=\sqrt{a^2+b^2}.

Passo 4: per trovare $\theta$ , individua il quadrante e usa

\displaystyle \tan\theta=\dfrac{b}{a}

quando $a\ne0$ .

Passo 5: per le radici $n$ -esime:

\displaystyle w_k=\rho^{\dfrac{1}{n}}e^{i\dfrac{\theta+2k\pi}{n}}, \qquad k=0,\dots,n-1.

Commento didattico: l’errore tipico è dimenticare le $n$ radici. Una radice complessa non è una sola: sono $n$ punti equidistanziati su una circonferenza.

Scegliere la tecnica di integrazione indefinita

Passo 1: cercare un integrale immediato.

Se l’integranda compare nella tabella delle primitive, si integra direttamente.

Passo 2: cercare una composizione.

Se compare una funzione interna e, moltiplicata, la sua derivata:

\displaystyle \int f(g(x))g'(x)\,dx,

si usa la sostituzione

\displaystyle u=g(x).

Passo 3: cercare un prodotto da parti.

Se l’integranda è prodotto di due famiglie diverse, come

\displaystyle x e^x,\qquad x\sin x,\qquad \ln x,

si prova l’integrazione per parti.

Passo 4: se è una razionale fratta, confrontare i gradi.

\displaystyle \deg P\ge \deg Q,

prima si divide. Solo dopo si usano i fratti semplici.

Passo 5: se compaiono seni e coseni razionali, valutare identità trigonometriche o Weierstrass.

Commento didattico: molti integrali diventano lunghi perché si sceglie subito una tecnica pesante. La scelta deve partire dalla struttura dell’integranda, non dalla formula che si ricorda meglio.

Integrali impropri: procedura sicura

Passo 1: individuare il punto problematico.

Può essere:

un estremo infinito;
un estremo finito dove la funzione diverge;
un punto interno dove la funzione non è definita.

Passo 2: sostituire il problema con un limite.

Esempio:

\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\,dx = \lim_{R\to+\infty}\int_a^R f(x)\,dx.

Passo 3: se la singolarità è interna, spezzare.

Se $c\in(a,b)$ è problematico:

\displaystyle \int_a^b f = \int_a^c f+\int_c^b f.

Entrambi i pezzi devono convergere.

Passo 4: per funzioni positive, confrontare con integrali campione.

Vicino a $+\infty$ :

\displaystyle \dfrac{1}{x^p} \quad\text{converge se }p>1.

Vicino a $0^+$ :

\displaystyle \dfrac{1}{x^p} \quad\text{converge se }p<1.

Commento didattico: non si può compensare una divergenza a sinistra con una divergenza a destra. La convergenza impropria richiede che ogni parte problematica converga separatamente.

Serie numeriche: albero decisionale

Passo 1: controllare il termine generale.

\displaystyle a_n\not\to0,

allora la serie diverge.

Passo 2: riconoscere serie notevoli.

Geometrica:

\displaystyle \sum q^n.

Armonica generalizzata:

\displaystyle \sum \dfrac{1}{n^p}.

Telescopica:

\displaystyle \sum (b_n-b_{n+1}).

Passo 3: se i termini sono positivi, usare confronto.

La domanda è: il termine assomiglia a una geometrica, a una armonica generalizzata o a qualcosa di già noto?

Passo 4: se compaiono fattoriali o prodotti, provare il rapporto.

\displaystyle \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|.

Passo 5: se compaiono potenze $n$ -esime, provare la radice.

\displaystyle \sqrt[n]{|a_n|}.

Passo 6: se la serie è alternata, applicare Leibniz e poi controllare la convergenza assoluta.

Commento didattico: Leibniz dimostra convergenza semplice, non necessariamente assoluta. Dopo Leibniz bisogna sempre chiedersi cosa succede a $\sum |a_n|$ .

Serie di potenze: raggio e bordo

Problema tipo:

\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-x_0)^n.

Passo 1: calcolare il raggio.

Se possibile, usare il rapporto:

\displaystyle R=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{c_n}{c_{n+1}}\right|.

Oppure:

\displaystyle \dfrac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}.

Passo 2: scrivere subito l’intervallo aperto.

\displaystyle |x-x_0|<R.

Passo 3: studiare separatamente i bordi.

I punti

\displaystyle x=x_0-R, \qquad x=x_0+R

producono due serie numeriche diverse. Vanno analizzate una alla volta.

Passo 4: solo dentro il raggio si può derivare e integrare termine a termine senza cambiare raggio.

Commento didattico: il raggio non decide i bordi. Dice solo cosa succede dentro e fuori; i due estremi sono sempre un esercizio separato.

17. Metodo operativo finale

Limiti

Procedura:

sostituire formalmente il punto;
riconoscere la forma;
semplificare algebricamente;
usare equivalenze notevoli se non ci sono somme delicate;
usare Taylor se ci sono cancellazioni;
usare de l’Hopital solo per $\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$ ;
concludere controllando dominio e limiti laterali.

Continuità e derivabilità con parametri

Per la continuità in $x_0$ :

\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x) = f(x_0).

Per la derivabilità in $x_0$ :

verificare prima la continuità;
calcolare

\displaystyle \lim_{h\to0^-}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \qquad \lim_{h\to0^+}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h};

imporre che i due limiti siano finiti e uguali.

Integrali

Ordine di scelta:

integrale immediato;
sostituzione;
parti;
fratti semplici;
identità trigonometriche;
Weierstrass;
integrazione numerica o funzioni speciali se non esiste primitiva elementare.

Serie

Procedura:

controllare se $a_n\to0$ ;
riconoscere serie geometrica, armonica, telescopica o alternata;
se $a_n\ge0$ , provare confronto o confronto asintotico;
con fattoriali e potenze, usare rapporto o radice;
con funzioni decrescenti, usare il criterio dell’integrale;
per segni alterni, applicare Leibniz e poi verificare la convergenza assoluta.

Formulario di Analisi Matematica I

1. Prerequisiti logici, insiemistici e numerici

Logica matematica minima

Insiemi e intervalli

Insiemi numerici

Valore assoluto

2. Algebra, disequazioni e funzioni elementari

Prodotti notevoli e fattorizzazioni

Potenze, esponenziali e logaritmi

Trigonometria essenziale

Funzioni iperboliche

3. Successioni numeriche

Limite finito

Limite infinito

Algebra dei limiti per successioni

Successioni monotone

Sottosuccessioni e Bolzano-Weierstrass

Criterio di Cauchy

Limiti notevoli per successioni

4. Limiti di funzione

Definizione \varepsilon-\delta

Limiti laterali

Algebra dei limiti

Teorema dei carabinieri

Forme indeterminate

Limiti notevoli

5. Continuità

Definizione

Operazioni con funzioni continue

Tipi di discontinuità

Teorema di Weierstrass

Teorema degli zeri

Teorema dei valori intermedi

Teorema di Darboux

Teorema di Heine-Cantor

6. Confronto locale: Landau, equivalenze, gerarchie

Simboli di Landau

Regole utili

Equivalenze fondamentali per x\to0

7. Calcolo differenziale

Definizione di derivata

Derivate elementari

Regole di derivazione

Differenziale

8. Teoremi del calcolo differenziale

Fermat

Rolle

Lagrange

Cauchy

De l’Hopital

9. Taylor e sviluppi di Maclaurin

Formula di Taylor

Sviluppi di Maclaurin notevoli

Metodo nei limiti con Taylor

10. Studio di funzione

Asintoti

Punti stazionari

Concavità e flessi

11. Numeri complessi

Forma algebrica

Forma trigonometrica ed esponenziale

De Moivre e radici

Esponenziale e logaritmo complesso

12. Integrali indefiniti

Primitive

Integrali immediati

Integrazione per sostituzione

Integrazione per parti

Funzioni razionali e fratti semplici

Sostituzione di Weierstrass

13. Integrali definiti e impropri

Integrale di Riemann

Teorema fondamentale del calcolo

Valore medio integrale

Applicazioni geometriche

Integrali impropri

Funzioni Gamma e Beta

14. Serie numeriche

Condizione necessaria

Serie notevoli

Definizione $\varepsilon$ - $\delta$

Equivalenze fondamentali per $x\to0$

Dimostrare il limite di una successione con $\varepsilon$ - $N$

Gestire una forma $1^\infty$