Forme Fondamentali delle Superfici

Voci di Glossario Geometria
Indice dei contenuti

    Le forme fondamentali di una superficie parametrica codificano tutta la geometria locale della superficie: la prima forma fondamentale descrive le proprietà metriche intrinseche (distanze e angoli); la seconda forma fondamentale descrive come la superficie è immersa nello spazio (curvatura).

    Vedi anche: Superficie Parametrica, Curvature delle Superfici, Theorema Egregium.

    Superficie Parametrica

    Sia r(u,v):U⊆R2→R3\mathbf{r}(u, v): U \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 una parametrizzazione regolare di una superficie SS. I vettori tangenti sono:

    ru=∂r∂u,rv=∂r∂v\mathbf{r}_u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}, \quad \mathbf{r}_v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}

    Il vettore normale unitario è:

    n^=ru×rv∣ru×rv∣\hat{n} = \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v}{|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|}

    Prima Forma Fondamentale

    La prima forma fondamentale è la forma quadratica:

    I=E du2+2F du dv+G dv2I = E\, du^2 + 2F\, du\, dv + G\, dv^2

    con coefficienti:

    E=ru⋅ru,F=ru⋅rv,G=rv⋅rvE = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_u, \quad F = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_v, \quad G = \mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_v

    Calcolo di grandezze intrinseche:

    GrandezzaFormula
    Lunghezza di arcods2=E du2+2F du dv+G dv2ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2
    Area di un elementodA=EG−F2 du dvdA = \sqrt{EG - F^2}\, du\, dv
    Angolo tra curve coordinatecos⁡θ=F/EG\cos\theta = F/\sqrt{EG}

    Le curve coordinate sono ortogonali se e solo se F=0F = 0.

    Seconda Forma Fondamentale

    La seconda forma fondamentale misura la curvatura della superficie:

    II=L du2+2M du dv+N dv2II = L\, du^2 + 2M\, du\, dv + N\, dv^2

    con coefficienti:

    L=ruu⋅n^,M=ruv⋅n^,N=rvv⋅n^L = \mathbf{r}_{uu} \cdot \hat{n}, \quad M = \mathbf{r}_{uv} \cdot \hat{n}, \quad N = \mathbf{r}_{vv} \cdot \hat{n}

    La curvatura normale di una curva sulla superficie con direzione tangente (du:dv)(du:dv) è:

    κn=L du2+2M du dv+N dv2E du2+2F du dv+G dv2=III\kappa_n = \frac{L\,du^2 + 2M\,du\,dv + N\,dv^2}{E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2} = \frac{II}{I}

    Operatore di Weingarten (Mappa di Forma)

    L’operatore di Weingarten W\mathcal{W} (o mappa di forma) è la derivata della mappa normale di Gauss n^:S→S2\hat{n}: S \to S^2. In coordinate è rappresentato dalla matrice:

    W=(EFFG)−1(LMMN)\mathcal{W} = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}

    Gli autovalori di W\mathcal{W} sono le curvature principali κ1,κ2\kappa_1, \kappa_2; gli autovettori sono le direzioni principali.

    Curvature Principali, Gaussiana e Media

    K=κ1κ2=LN−M2EG−F2,H=κ1+κ22=EN−2FM+GL2(EG−F2)K = \kappa_1 \kappa_2 = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}, \quad H = \frac{\kappa_1 + \kappa_2}{2} = \frac{EN - 2FM + GL}{2(EG - F^2)}

    • KK = curvatura gaussiana (intrinseca per il Theorema Egregium). Vedi: Theorema Egregium.
    • HH = curvatura media (estrinseca); H=0H = 0 definisce le superfici minime.

    Applicazioni ingegneristiche

    • Meccanica delle shell: le equazioni di equilibrio di lastre e gusci (teoria di Kirchhoff-Love) usano entrambe le forme fondamentali; la curvatura gaussiana entra nel termine di rigidezza membranale, la curvatura media in quello flessionale.
    • CAD e produzione: il calcolo delle curvature principali permette di pianificare le traiettorie dell’utensile (CNC milling) mantenendo il contatto corretto tra utensile sferico e superficie.
    • Analisi di forme biologiche: la curvatura media e gaussiana di membrane cellulari, corteccia cerebrale e superfici ossee sono quantificate a partire dalle due forme fondamentali su mesh di superfici segmentate da immagini mediche.

    Ultimo aggiornamento: