Le forme fondamentali di una superficie parametrica codificano tutta la geometria locale della superficie: la prima forma fondamentale descrive le proprietà metriche intrinseche (distanze e angoli); la seconda forma fondamentale descrive come la superficie è immersa nello spazio (curvatura).
Vedi anche: Superficie Parametrica, Curvature delle Superfici, Theorema Egregium.
Superficie Parametrica
Sia \mathbf{r}(u, v): U \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 una parametrizzazione regolare di una superficie S. I vettori tangenti sono:
\mathbf{r}_u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}, \quad \mathbf{r}_v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}
Il vettore normale unitario è:
\hat{n} = \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v}{|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|}
Prima Forma Fondamentale
La prima forma fondamentale è la forma quadratica:
I = E\, du^2 + 2F\, du\, dv + G\, dv^2
con coefficienti:
E = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_u, \quad F = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_v, \quad G = \mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_v
Calcolo di grandezze intrinseche:
| Grandezza | Formula |
|---|---|
| Lunghezza di arco | ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2 |
| Area di un elemento | dA = \sqrt{EG - F^2}\, du\, dv |
| Angolo tra curve coordinate | \cos\theta = F/\sqrt{EG} |
Le curve coordinate sono ortogonali se e solo se F = 0.
Seconda Forma Fondamentale
La seconda forma fondamentale misura la curvatura della superficie:
II = L\, du^2 + 2M\, du\, dv + N\, dv^2
con coefficienti:
L = \mathbf{r}_{uu} \cdot \hat{n}, \quad M = \mathbf{r}_{uv} \cdot \hat{n}, \quad N = \mathbf{r}_{vv} \cdot \hat{n}
La curvatura normale di una curva sulla superficie con direzione tangente (du:dv) è:
\kappa_n = \frac{L\,du^2 + 2M\,du\,dv + N\,dv^2}{E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2} = \frac{II}{I}
Operatore di Weingarten (Mappa di Forma)
L’operatore di Weingarten \mathcal{W} (o mappa di forma) è la derivata della mappa normale di Gauss \hat{n}: S \to S^2. In coordinate è rappresentato dalla matrice:
\mathcal{W} = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}
Gli autovalori di \mathcal{W} sono le curvature principali \kappa_1, \kappa_2; gli autovettori sono le direzioni principali.
Curvature Principali, Gaussiana e Media
K = \kappa_1 \kappa_2 = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}, \quad H = \frac{\kappa_1 + \kappa_2}{2} = \frac{EN - 2FM + GL}{2(EG - F^2)}
- K = curvatura gaussiana (intrinseca per il Theorema Egregium). Vedi: Theorema Egregium.
- H = curvatura media (estrinseca); H = 0 definisce le superfici minime.
Applicazioni ingegneristiche
- Meccanica delle shell: le equazioni di equilibrio di lastre e gusci (teoria di Kirchhoff-Love) usano entrambe le forme fondamentali; la curvatura gaussiana entra nel termine di rigidezza membranale, la curvatura media in quello flessionale.
- CAD e produzione: il calcolo delle curvature principali permette di pianificare le traiettorie dell’utensile (CNC milling) mantenendo il contatto corretto tra utensile sferico e superficie.
- Analisi di forme biologiche: la curvatura media e gaussiana di membrane cellulari, corteccia cerebrale e superfici ossee sono quantificate a partire dalle due forme fondamentali su mesh di superfici segmentate da immagini mediche.