Una forma differenziale lineare \omega = F_1\,dx_1 + \cdots + F_n\,dx_n (con F_i: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}) descrive il lavoro elementare di un campo vettoriale \mathbf{F} lungo uno spostamento infinitesimo.
Forma Esatta
\omega è esatta su A se esiste una funzione scalare U: A \to \mathbb{R} (il potenziale) tale che: \omega = dU = \frac{\partial U}{\partial x_1}dx_1 + \cdots + \frac{\partial U}{\partial x_n}dx_n
Equivalentemente, \mathbf{F} = \nabla U (il campo è conservativo). L’integrale di \omega dipende solo dagli estremi e non dal cammino.
Forma Chiusa
\omega è chiusa se soddisfa le condizioni di integrabilità (condizioni di Schwarz): \frac{\partial F_i}{\partial x_j} = \frac{\partial F_j}{\partial x_i} \qquad \forall\, i \neq j
In \mathbb{R}^3 equivale a \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0} (campo irrotazionale).
Ogni forma esatta è chiusa; il viceversa dipende dalla topologia del dominio.
Lemma di Poincaré
Se A è un dominio semplicemente connesso (senza buchi), allora: \omega \text{ chiusa} \iff \omega \text{ esatta}
In un dominio non semplicemente connesso (es. \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}), possono esistere forme chiuse non esatte. Il caso classico è \omega = \frac{-y\,dx + x\,dy}{x^2 + y^2}, che ha integrale 2\pi lungo la circonferenza unitaria.
Applicazione Pratica
Per verificare se \mathbf{F} è conservativo e trovare il potenziale U su un dominio semplicemente connesso:
- Verificare le condizioni di integrabilità.
- Integrare parzialmente componente per componente per ricostruire U.