Equazioni della Fisica Matematica

Le equazioni della fisica matematica sono le EDP che modellano i fenomeni fisici fondamentali: diffusione, propagazione e campi stazionari.

Equazione del Calore

$u_t = k\,\Delta u \qquad (k > 0)$

Descrive la diffusione del calore (e di molte altre quantità fisiche). La soluzione fondamentale (nucleo del calore) è: $\Phi(x,t) = \frac{1}{(4\pi kt)^{n/2}}\,e^{-|x|^2/(4kt)}, \qquad t > 0$

La soluzione del problema di Cauchy si ottiene per convoluzione: $u(x,t) = (\Phi(\cdot,t) * u_0)(x)$.

Equazione delle Onde

$u_{tt} = c^2\,\Delta u$

In una dimensione, la formula di D’Alembert dà la soluzione esplicita: $u(x,t) = \frac{f(x+ct) + f(x-ct)}{2} + \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} g(\xi)\,d\xi$

dove $f = u(x,0)$ è il dato iniziale di posizione e $g = u_t(x,0)$ di velocità. Le perturbazioni si propagano con velocità $c$.

Soluzione Fondamentale e Funzioni di Green

La soluzione fondamentale di un operatore $L$ è la distribuzione $E$ tale che $LE = \delta$. La funzione di Green $G(x,y)$ del problema di Dirichlet soddisfa $L_x G = \delta(x-y)$ con $G = 0$ sul bordo, e la soluzione è: $u(x) = \int_\Omega G(x,y)\,f(y)\,dy$

Problema di Sturm-Liouville e Autofunzioni

Il problema $-(p(x)y')' + q(x)y = \lambda w(x)y$ con condizioni al contorno genera una successione di autovalori $\lambda_n$ reali e di autofunzioni $\phi_n$ ortogonali. Lo sviluppo in autofunzioni generalizza le serie di Fourier e si usa per risolvere EDP con separazione delle variabili su geometrie complesse.