Le equazioni della fisica matematica sono le EDP che modellano i fenomeni fisici fondamentali: diffusione, propagazione e campi stazionari.
Equazione del Calore
u_t = k\,\Delta u \qquad (k > 0)
Descrive la diffusione del calore (e di molte altre quantità fisiche). La soluzione fondamentale (nucleo del calore) è: \Phi(x,t) = \frac{1}{(4\pi kt)^{n/2}}\,e^{-|x|^2/(4kt)}, \qquad t > 0
La soluzione del problema di Cauchy si ottiene per convoluzione: u(x,t) = (\Phi(\cdot,t) * u_0)(x).
Equazione delle Onde
u_{tt} = c^2\,\Delta u
In una dimensione, la formula di D’Alembert dà la soluzione esplicita: u(x,t) = \frac{f(x+ct) + f(x-ct)}{2} + \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} g(\xi)\,d\xi
dove f = u(x,0) è il dato iniziale di posizione e g = u_t(x,0) di velocità. Le perturbazioni si propagano con velocità c.
Soluzione Fondamentale e Funzioni di Green
La soluzione fondamentale di un operatore L è la distribuzione E tale che LE = \delta. La funzione di Green G(x,y) del problema di Dirichlet soddisfa L_x G = \delta(x-y) con G = 0 sul bordo, e la soluzione è: u(x) = \int_\Omega G(x,y)\,f(y)\,dy
Problema di Sturm-Liouville e Autofunzioni
Il problema -(p(x)y')' + q(x)y = \lambda w(x)y con condizioni al contorno genera una successione di autovalori \lambda_n reali e di autofunzioni \phi_n ortogonali. Lo sviluppo in autofunzioni generalizza le serie di Fourier e si usa per risolvere EDP con separazione delle variabili su geometrie complesse.