Le equazioni di Cauchy-Riemann sono le condizioni che devono essere soddisfatte affinché una funzione di variabile complessa sia differenziabile in senso complesso (ovvero olomorfa).
Definizione
Sia f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + i v(x, y) una funzione complessa. Affinché f sia olomorfa, le parti reale (u) e immaginaria (v) devono soddisfare: \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{cases}
Proprietà
Se le equazioni sono soddisfatte, le funzioni u e v sono armoniche (ovvero soddisfano l’equazione di Laplace \Delta u = 0 e \Delta v = 0). In questo caso, v è detta l’armonica coniugata di u.
Significato Ingegneristico
- Potenziale Complesso: In fluidodinamica e in elettrostatica piana, si utilizza il potenziale complesso w(z) = \phi + i\psi. Le equazioni di Cauchy-Riemann garantiscono che le linee equipotenziali (\phi=const) e le linee di flusso (\psi=const) siano tra loro ortogonali.
- Analisi dei Segnali: Sono fondamentali per lo studio delle trasformate integrali e per garantire che i filtri progettati nel dominio della frequenza complessa abbiano proprietà fisiche realizzabili.
- Trasformazioni Conformi: Ogni funzione che soddisfa queste equazioni definisce una mappa che conserva gli angoli, strumento potentissimo per risolvere problemi di contorno in geometrie complicate.