L’equazione di Poisson è la generalizzazione non omogenea dell’equazione di Laplace. Essa mette in relazione il laplaciano di una funzione potenziale con una funzione sorgente (termine noto).
Definizione
In un dominio spaziale \Omega: \Delta \varphi = f dove \Delta è l’operatore laplaciano, \varphi è la funzione incognita (potenziale) e f è la densità delle sorgenti. Se f=0, l’equazione si riduce a quella di Laplace.
Significato Ingegneristico
- Elettrostatica: È l’equazione fondamentale che lega il potenziale elettrico V alla densità di carica \rho: \Delta V = -\rho/\epsilon. Risolvendo questa equazione, si può determinare il campo elettrico in ogni punto partendo dalla distribuzione delle cariche.
- Gravitazione: Descrive il potenziale gravitazionale generato da una distribuzione di massa.
- Meccanica dei Continui: Utilizzata per calcolare la deflessione di una membrana elastica (es. pelle di un tamburo) sottoposta a un carico di pressione distribuito p(x, y).
- Idrodinamica: Appare nel calcolo del potenziale di velocità per flussi incomprimibili con termini di sorgente o pozzo.