L’equazione differenziale di Bernoulli è un’equazione differenziale ordinaria del primo ordine della forma: y' + p(x)y = q(x)y^n dove n è un numero reale diverso da 0 e 1 (casi in cui l’equazione sarebbe già lineare).
Metodo di Risoluzione
L’equazione viene risolta tramite il cambio di variabile: u = y^{1-n} Derivando u e sostituendo nell’equazione originale, si ottiene un’equazione differenziale lineare del primo ordine in u, risolvibile con il metodo del fattore integrante.
Significato Ingegneristico
Sebbene meno famosa dell’omonima equazione della fluidodinamica, l’equazione di Bernoulli compare in vari modelli fisici non lineari.
- Modelli di Crescita: In biologia e dinamica delle popolazioni, estensioni del modello logistico possono assumere questa forma.
- Circuiti Non Lineari: Alcuni circuiti con componenti attivi o resistenze variabili con la tensione possono essere modellati tramite equazioni di Bernoulli.
- Fluidodinamica (Strato Limite): Alcune soluzioni semplificate delle equazioni di Navier-Stokes per flussi laminari portano a equazioni di questo tipo per il profilo di velocità.