Le equazioni alle derivate parziali (EDP) coinvolgono derivate parziali di una funzione incognita di più variabili. Le EDP lineari del secondo ordine in \mathbb{R}^2 hanno la forma: Au_{xx} + Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + Fu = G
Classificazione
Il discriminante \Delta = B^2 - 4AC determina il tipo:
| \Delta | Tipo | Esempio canonico |
|---|---|---|
| < 0 | Ellittica | Equazione di Laplace (\Delta u = 0) |
| = 0 | Parabolica | Equazione del calore (u_t = \Delta u) |
| > 0 | Iperbolica | Equazione delle onde (u_{tt} = c^2\Delta u) |
Il tipo governa il comportamento fisico: le ellittiche descrivono stati stazionari, le paraboliche la diffusione, le iperboliche la propagazione.
Problemi ai Limiti e Condizioni
Una EDP su un dominio \Omega richiede condizioni al contorno su \partial\Omega:
- Dirichlet: u|_{\partial\Omega} = g (valore assegnato)
- Neumann: \frac{\partial u}{\partial n}|_{\partial\Omega} = h (flusso assegnato)
- Robin: \alpha u + \beta\frac{\partial u}{\partial n} = g (combinazione)
Per EDP evoluttive (calore, onde) occorrono anche condizioni iniziali.
EDP del Primo Ordine — Metodo delle Caratteristiche
Per a(x,y)u_x + b(x,y)u_y = c(x,y,u), le curve caratteristiche sono le soluzioni di \frac{dx}{a} = \frac{dy}{b}. Lungo le caratteristiche l’EDP si riduce a un’EDO.
Metodo di Separazione delle Variabili
Si cerca u(x,t) = X(x)T(t). Sostituendo, si ottengono due EDO ordinarie accoppiate da una costante di separazione. Combinando le soluzioni si costruisce la soluzione generale tramite serie (di Fourier o di autofunzioni).