Le EDO lineari del secondo ordine a coefficienti costanti hanno la forma: ay'' + by' + cy = g(x)
con a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0. La soluzione generale è la somma della soluzione dell’omogenea y_o e di una soluzione particolare y_p: y = y_o + y_p.
Equazione Caratteristica e Soluzione dell’Omogenea
Si associa l’equazione caratteristica a\lambda^2 + b\lambda + c = 0 e si distinguono tre casi in base al discriminante \Delta = b^2 - 4ac:
| \Delta | Radici | Soluzione omogenea |
|---|---|---|
| > 0 | \lambda_1 \neq \lambda_2 \in \mathbb{R} | C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x} |
| = 0 | \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda | (C_1 + C_2 x)e^{\lambda x} |
| < 0 | \alpha \pm i\beta | e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x) |
Metodo dei Coefficienti Indeterminati
Per forzanti g(x) di forma speciale (polinomi, esponenziali, seni/coseni) si cerca una soluzione particolare della stessa forma, moltiplicata per x^k se il termine è risonante (radice caratteristica coincidente).
Metodo di Variazione delle Costanti
Per forzanti generali: note y_1, y_2 soluzioni fondamentali dell’omogenea, si cerca y_p = u_1(x)y_1 + u_2(x)y_2 con: u_1' = -\frac{y_2 g}{aW}, \qquad u_2' = \frac{y_1 g}{aW} dove W = y_1 y_2' - y_1' y_2 è il Wronskiano.
EDO di Ordine Superiore e EDO di Eulero
Le EDO lineari di ordine n a coefficienti costanti si trattano analogamente con l’equazione caratteristica di grado n.
L’EDO di Eulero ax^2 y'' + bxy' + cy = 0 ha coefficienti variabili ma si riconduce a coefficienti costanti con la sostituzione x = e^t.