Le EDO del primo ordine che non sono a variabili separabili o lineari si affrontano con tecniche specifiche.
Metodo del Fattore Integrante
Per un’EDO lineare del primo ordine y' + P(x)y = Q(x), il fattore integrante è: \mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}
Moltiplicando entrambi i membri per \mu, il lato sinistro diventa la derivata di \mu(x) y: (\mu y)' = \mu Q \implies y = \frac{1}{\mu(x)}\int \mu(x)Q(x)\,dx + C
EDO Esatte
L’equazione M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 è esatta se \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}. Esiste allora F(x,y) tale che dF = M\,dx + N\,dy, e la soluzione è F(x,y) = C.
Se non è esatta, si cerca un fattore integrante \mu(x,y) che la renda tale.
EDO Omogenee
Un’equazione y' = f(x,y) è omogenea se f(tx, ty) = f(x,y), ovvero se f dipende solo da y/x. La sostituzione v = y/x (cioè y = vx, y' = v + xv') la riduce a variabili separabili.
Pennelli di Soluzioni e Prolungabilità
L’insieme di tutte le soluzioni di un’EDO al variare della costante di integrazione forma un pennello di curve integrali. La teoria di Picard-Lindelöf garantisce l’esistenza e unicità locale, ma una soluzione può non essere prolungabile a tutto \mathbb{R} (esplosione in tempo finito).
Criterio di prolungabilità: la soluzione del problema di Cauchy y' = f(x,y), y(x_0) = y_0 è prolungabile fintanto che rimane in un compatto dove f è limitata e lipschitziana.