Metodi di Risoluzione delle EDO

Le EDO del primo ordine che non sono a variabili separabili o lineari si affrontano con tecniche specifiche.

Metodo del Fattore Integrante

Per un’EDO lineare del primo ordine $y' + P(x)y = Q(x)$, il fattore integrante è: $\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}$

Moltiplicando entrambi i membri per $\mu$, il lato sinistro diventa la derivata di $\mu(x) y$: $(\mu y)' = \mu Q \implies y = \frac{1}{\mu(x)}\int \mu(x)Q(x)\,dx + C$

EDO Esatte

L’equazione $M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$ è esatta se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$. Esiste allora $F(x,y)$ tale che $dF = M\,dx + N\,dy$, e la soluzione è $F(x,y) = C$.

Se non è esatta, si cerca un fattore integrante $\mu(x,y)$ che la renda tale.

EDO Omogenee

Un’equazione $y' = f(x,y)$ è omogenea se $f(tx, ty) = f(x,y)$, ovvero se $f$ dipende solo da $y/x$. La sostituzione $v = y/x$ (cioè $y = vx$, $y' = v + xv'$) la riduce a variabili separabili.

Pennelli di Soluzioni e Prolungabilità

L’insieme di tutte le soluzioni di un’EDO al variare della costante di integrazione forma un pennello di curve integrali. La teoria di Picard-Lindelöf garantisce l’esistenza e unicità locale, ma una soluzione può non essere prolungabile a tutto $\mathbb{R}$ (esplosione in tempo finito).

Criterio di prolungabilità: la soluzione del problema di Cauchy $y' = f(x,y)$, $y(x_0) = y_0$ è prolungabile fintanto che rimane in un compatto dove $f$ è limitata e lipschitziana.