La disuguaglianza di Chebyshev (o Tchebychev) fornisce un limite superiore alla probabilità che una variabile aleatoria X si discosti dal suo valore atteso \mu di oltre una certa quantità k. È più potente della disuguaglianza di Markov perché utilizza anche l’informazione sulla Varianza (\sigma^2).
Enunciato
Per ogni variabile aleatoria X con media \mu e varianza finita \sigma^2, e per ogni costante k > 0: P(|X - \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2}
Spesso viene espressa in termini di multipli della deviazione standard (k = \lambda\sigma): P(|X - \mu| \geq \lambda\sigma) \leq \frac{1}{\lambda^2}
Interpretazione
Indipendentemente dalla forma della distribuzione:
- Al massimo il 25\% dei valori si trova a più di 2 deviazioni standard dalla media.
- Al massimo l’11.1\% si trova a più di 3 deviazioni standard. (Nota: se la distribuzione è Normale, questi valori sono molto più piccoli, rispettivamente 4.5\% e 0.3\%).
Significato Ingegneristico
- Garanzie di Progetto senza Ipotesi: In ingegneria, quando non si può assumere la normalità della distribuzione (es. carichi di traffico internet altamente irregolari), la disuguaglianza di Chebyshev fornisce un “limite di sicurezza” certo e invalicabile.
- Controllo di Processo: Utilizzata per stabilire limiti di controllo preliminari in assenza di dati sufficienti per determinare la distribuzione reale del processo.
- Informatica: È alla base della dimostrazione della Legge dei Grandi Numeri, fondamentale per la validità delle simulazioni Monte Carlo e per la stima dei parametri in campioni di grandi dimensioni.
Vedi anche: Disuguaglianza di Markov, Varianza, Deviazione Standard.