Disuguaglianza di Chebyshev — ingegnerismo.it

La disuguaglianza di Chebyshev (o Tchebychev) fornisce un limite superiore alla probabilità che una variabile aleatoria $X$ si discosti dal suo valore atteso $\mu$ di oltre una certa quantità $k$ . È più potente della disuguaglianza di Markov perché utilizza anche l’informazione sulla Varianza ( $\sigma^2$ ).

Enunciato

Per ogni variabile aleatoria $X$ con media $\mu$ e varianza finita $\sigma^2$ , e per ogni costante $k > 0$ : $P(|X - \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2}$

Spesso viene espressa in termini di multipli della deviazione standard ( $k = \lambda\sigma$ ): $P(|X - \mu| \geq \lambda\sigma) \leq \frac{1}{\lambda^2}$

Interpretazione

Indipendentemente dalla forma della distribuzione:

Al massimo il $25\%$ dei valori si trova a più di 2 deviazioni standard dalla media.
Al massimo l’ $11.1\%$ si trova a più di 3 deviazioni standard. (Nota: se la distribuzione è Normale, questi valori sono molto più piccoli, rispettivamente $4.5\%$ e $0.3\%$ ).

Significato Ingegneristico

Garanzie di Progetto senza Ipotesi: In ingegneria, quando non si può assumere la normalità della distribuzione (es. carichi di traffico internet altamente irregolari), la disuguaglianza di Chebyshev fornisce un “limite di sicurezza” certo e invalicabile.
Controllo di Processo: Utilizzata per stabilire limiti di controllo preliminari in assenza di dati sufficienti per determinare la distribuzione reale del processo.
Informatica: È alla base della dimostrazione della Legge dei Grandi Numeri, fondamentale per la validità delle simulazioni Monte Carlo e per la stima dei parametri in campioni di grandi dimensioni.

Vedi anche: Disuguaglianza di Markov, Varianza, Deviazione Standard.