Disuguaglianza di Bernoulli — ingegnerismo.it

La disuguaglianza di Bernoulli è una relazione classica dell’analisi che permette di approssimare (per difetto) la potenza di un binomio con un’espressione lineare.

Enunciato

Per ogni numero reale $x > -1$ e per ogni numero naturale $n \in \mathbb{N}$ , vale la relazione: $(1 + x)^n \geq 1 + nx$

Dimostrazione e Casi

Se $n=0$ : $1 \geq 1$ (vera).
Se $n=1$ : $1+x \geq 1+x$ (vera).
Per $n \geq 2$ , la disuguaglianza è stretta se $x \neq 0$ . La dimostrazione standard avviene per induzione su $n$ .

Importanza nell’Analisi

È uno strumento chiave per dimostrare limiti fondamentali, come:

Il limite della successione $(1 + 1/n)^n$ che definisce il numero $e$ .
La divergenza della successione $a^n$ per $a > 1$ .

Significato Ingegneristico

In ingegneria, la disuguaglianza di Bernoulli è utile per effettuare stime conservative. Se una grandezza cresce come $(1+x)^n$ , sappiamo che essa sarà sempre almeno pari alla sua approssimazione lineare $1+nx$ . Questo è utile nelle fasi preliminari di progetto per garantire che certi requisiti siano soddisfatti “almeno” con un certo margine di sicurezza.