La disuguaglianza di Bernoulli è una relazione classica dell’analisi che permette di approssimare (per difetto) la potenza di un binomio con un’espressione lineare.
Enunciato
Per ogni numero reale x > -1 e per ogni numero naturale n \in \mathbb{N}, vale la relazione: (1 + x)^n \geq 1 + nx
Dimostrazione e Casi
- Se n=0: 1 \geq 1 (vera).
- Se n=1: 1+x \geq 1+x (vera).
- Per n \geq 2, la disuguaglianza è stretta se x \neq 0. La dimostrazione standard avviene per induzione su n.
Importanza nell’Analisi
È uno strumento chiave per dimostrare limiti fondamentali, come:
- Il limite della successione (1 + 1/n)^n che definisce il numero e.
- La divergenza della successione a^n per a > 1.
Significato Ingegneristico
In ingegneria, la disuguaglianza di Bernoulli è utile per effettuare stime conservative. Se una grandezza cresce come (1+x)^n, sappiamo che essa sarà sempre almeno pari alla sua approssimazione lineare 1+nx. Questo è utile nelle fasi preliminari di progetto per garantire che certi requisiti siano soddisfatti “almeno” con un certo margine di sicurezza.