La teoria delle distribuzioni (Schwartz, 1945) estende il concetto di funzione per includere oggetti come la delta di Dirac e le derivate di funzioni discontinue, rendendo possibile una teoria generale delle EDP.
Funzioni Test e Spazio \mathcal{D}
Una funzione test è una funzione \varphi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} di classe C^\infty a supporto compatto (cioè nulla fuori da un compatto). L’insieme di tutte le funzioni test è lo spazio \mathcal{D}(\mathbb{R}^n).
Esempio: \varphi(x) = e^{-1/(1-x^2)} per |x| < 1, zero altrove.
Definizione di Distribuzione
Una distribuzione è un funzionale lineare continuo T: \mathcal{D} \to \mathbb{R}. Si scrive \langle T, \varphi \rangle per indicare l’azione di T su \varphi.
Ogni funzione localmente integrabile f definisce una distribuzione regolare: \langle T_f, \varphi \rangle = \int_{\mathbb{R}^n} f(x)\,\varphi(x)\,dx
Delta di Dirac
La delta di Dirac \delta_{x_0} è la distribuzione: \langle \delta_{x_0}, \varphi \rangle = \varphi(x_0)
Non è una funzione ordinaria, ma agisce come “misura di massa unitaria concentrata in x_0”.
Derivata di una Distribuzione
La derivata di T è definita per dualità con l’integrazione per parti: \langle T', \varphi \rangle = -\langle T, \varphi' \rangle
Questa definizione funziona per qualsiasi distribuzione, incluse quelle associate a funzioni discontinue. Ad esempio, la derivata del gradino di Heaviside è \delta.
Convoluzione di Distribuzioni
(T * S)(\varphi) = \langle T_x, \langle S_y, \varphi(x+y)\rangle\rangle (sotto opportune condizioni di supporto). La convoluzione è il linguaggio naturale per le soluzioni fondamentali delle EDP.
Spazi L^p e Spazi di Hilbert
Lo spazio L^p(\Omega) = \{f : \int |f|^p < \infty\} con norma \|f\|_p = \left(\int|f|^p\right)^{1/p} generalizza gli spazi di funzioni sommabili. Per p=2 si ottiene uno spazio di Hilbert con prodotto scalare \langle f,g\rangle = \int fg.
Le disuguaglianze di Hölder (\|fg\|_1 \leq \|f\|_p\|g\|_q con 1/p+1/q=1) e Minkowski (\|f+g\|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p) sono fondamentali in analisi funzionale.