Distribuzioni

La teoria delle distribuzioni (Schwartz, 1945) estende il concetto di funzione per includere oggetti come la delta di Dirac e le derivate di funzioni discontinue, rendendo possibile una teoria generale delle EDP.

Funzioni Test e Spazio $\mathcal{D}$

Una funzione test è una funzione $\varphi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ di classe $C^\infty$ a supporto compatto (cioè nulla fuori da un compatto). L’insieme di tutte le funzioni test è lo spazio $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$.

Esempio: $\varphi(x) = e^{-1/(1-x^2)}$ per $|x| < 1$, zero altrove.

Definizione di Distribuzione

Una distribuzione è un funzionale lineare continuo $T: \mathcal{D} \to \mathbb{R}$. Si scrive $\langle T, \varphi \rangle$ per indicare l’azione di $T$ su $\varphi$.

Ogni funzione localmente integrabile $f$ definisce una distribuzione regolare: $\langle T_f, \varphi \rangle = \int_{\mathbb{R}^n} f(x)\,\varphi(x)\,dx$

Delta di Dirac

La delta di Dirac $\delta_{x_0}$ è la distribuzione: $\langle \delta_{x_0}, \varphi \rangle = \varphi(x_0)$

Non è una funzione ordinaria, ma agisce come “misura di massa unitaria concentrata in $x_0$”.

Derivata di una Distribuzione

La derivata di $T$ è definita per dualità con l’integrazione per parti: $\langle T', \varphi \rangle = -\langle T, \varphi' \rangle$

Questa definizione funziona per qualsiasi distribuzione, incluse quelle associate a funzioni discontinue. Ad esempio, la derivata del gradino di Heaviside è $\delta$.

Convoluzione di Distribuzioni

$(T * S)(\varphi) = \langle T_x, \langle S_y, \varphi(x+y)\rangle\rangle$ (sotto opportune condizioni di supporto). La convoluzione è il linguaggio naturale per le soluzioni fondamentali delle EDP.

Spazi $L^p$ e Spazi di Hilbert

Lo spazio $L^p(\Omega) = \{f : \int |f|^p < \infty\}$ con norma $\|f\|_p = \left(\int|f|^p\right)^{1/p}$ generalizza gli spazi di funzioni sommabili. Per $p=2$ si ottiene uno spazio di Hilbert con prodotto scalare $\langle f,g\rangle = \int fg$.

Le disuguaglianze di Hölder ($\|fg\|_1 \leq \|f\|_p\|g\|_q$ con $1/p+1/q=1$) e Minkowski ($\|f+g\|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p$) sono fondamentali in analisi funzionale.