Distribuzioni notevoli: esercizi svolti (binomiale, Poisson, normale, esponenziale)

Poche distribuzioni notevoli modellano la maggior parte dei fenomeni: la binomiale per i conteggi di successi, la Poisson per eventi rari, la normale per le medie, l’esponenziale per i tempi di attesa. Riconoscere quale distribuzione si applica è metà del lavoro. Questa scheda allena il calcolo con le distribuzioni più frequenti negli esami di ingegneria.

1. Distribuzione binomiale

Esercizio. Si lancia 10 volte una moneta equa. Probabilità di ottenere esattamente 6 teste?

La binomiale $X\sim B(n,p)$ con $n=10$ , $p=0{,}5$ :

$P(X=6)=\binom{10}{6}p^6(1-p)^{4}=210\times(0{,}5)^6\times(0{,}5)^4=210\times(0{,}5)^{10}=\dfrac{210}{1024}=0{,}205.$

La binomiale conta i successi in $n$ prove indipendenti con probabilità fissa $p$ .

2. Media e varianza della binomiale

Esercizio. Per la $X\sim B(10,\ 0{,}5)$ del punto 1, calcolare media e varianza.

$E[X]=np=10\times0{,}5=5,\qquad \operatorname{Var}(X)=np(1-p)=10\times0{,}5\times0{,}5=2{,}5.$

In media 5 teste su 10, con deviazione standard $\sigma=\sqrt{2{,}5}=1{,}58$ . La varianza è massima per $p=0{,}5$ (massima incertezza).

3. Distribuzione geometrica

Esercizio. Si lancia un dado finché non esce il 6. Probabilità che servano esattamente 4 lanci?

La geometrica conta le prove fino al primo successo, con $p=1/6$ :

$P(X=4)=(1-p)^{3}p=\left(\dfrac{5}{6}\right)^3\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{125}{216}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{125}{1296}=0{,}096.$

Tre insuccessi seguiti da un successo. Media $E[X]=1/p=6$ : in media servono 6 lanci.

4. Distribuzione di Poisson

Esercizio. A un centralino arrivano in media 3 chiamate al minuto. Probabilità di esattamente 5 chiamate in un minuto?

La Poisson modella eventi rari con tasso medio $\lambda=3$ :

$P(X=5)=\dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}=\dfrac{3^5 e^{-3}}{5!}=\dfrac{243\times0{,}0498}{120}=\dfrac{12{,}1}{120}=0{,}101.$

Per la Poisson media e varianza coincidono: $E[X]=\operatorname{Var}(X)=\lambda=3$ .

5. Approssimazione di Poisson alla binomiale

Esercizio. Su 1000 pezzi, ciascuno difettoso con probabilità $0{,}002$ , probabilità di esattamente 3 difettosi?

Con $n$ grande e $p$ piccolo si approssima la binomiale con una Poisson di $\lambda=np$ :

$\lambda=np=1000\times0{,}002=2.$

$P(X=3)\approx\dfrac{2^3 e^{-2}}{3!}=\dfrac{8\times0{,}135}{6}=\dfrac{1{,}083}{6}=0{,}180.$

L’approssimazione vale per $n\ge20$ , $p\le0{,}05$ : evita il calcolo di coefficienti binomiali enormi.

6. Distribuzione esponenziale

Esercizio. La durata di un componente è esponenziale con vita media $1/\lambda=500\ \text{h}$ . Probabilità che duri oltre 800 h?

Con $\lambda=1/500=0{,}002\ \text{h}^{-1}$ , la ripartizione esponenziale dà:

$P(X>800)=e^{-\lambda x}=e^{-0{,}002\times800}=e^{-1{,}6}=0{,}202.$

L’esponenziale è senza memoria: la probabilità di durare altre 800 h non dipende da quanto ha già funzionato. Modella i guasti a tasso costante.

7. Distribuzione normale e standardizzazione

Esercizio. L’altezza di una popolazione è $N(\mu=175,\ \sigma=7)$ cm. Probabilità che un individuo superi 186 cm?

Si standardizza in $Z\sim N(0,1)$ :

$Z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}=\dfrac{186-175}{7}=\dfrac{11}{7}=1{,}57.$

$P(X>186)=P(Z>1{,}57)=1-\Phi(1{,}57)=1-0{,}942=0{,}058=5{,}8\%.$

La standardizzazione riporta ogni normale alla tabella della $Z$ . Circa il $6\%$ supera i 186 cm.

8. Intervallo nella normale (regola 68-95-99,7)

Esercizio. Per la stessa $N(175,\ 7)$ , quale frazione della popolazione è tra 168 e 182 cm?

L’intervallo $[168,182]$ è $[\mu-\sigma,\ \mu+\sigma]$ :

$P(\mu-\sigma\le X\le\mu+\sigma)\approx0{,}683=68{,}3\%.$

È la regola empirica: $\approx68\%$ entro $1\sigma$ , $\approx95\%$ entro $2\sigma$ , $\approx99{,}7\%$ entro $3\sigma$ . Permette stime rapide senza tabelle.

9. Distribuzione uniforme continua

Esercizio. Un errore di arrotondamento è modellato come uniforme su $[-0{,}5,\ 0{,}5]$ . Calcolare $P(|X|\le0{,}2)$ , media e varianza.

Per $X\sim U(a,b)$ la densità è costante:

f(x)=\dfrac{1}{b-a}.

Qui $a=-0{,}5$ , $b=0{,}5$ , quindi la lunghezza totale dell’intervallo è $1$ . L’evento $|X|\le0{,}2$ corrisponde a $[-0{,}2,\ 0{,}2]$ , di lunghezza $0{,}4$ :

P(|X|\le0{,}2)=\dfrac{0{,}4}{1}=0{,}4.

Media e varianza dell’uniforme continua sono:

E[X]=\dfrac{a+b}{2}=0,\qquad \operatorname{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}=\dfrac{1}{12}=0{,}0833.

L’uniforme è il modello naturale quando tutti i valori di un intervallo sono considerati equiprobabili.

10. Percentile della normale

Esercizio. Per $X\sim N(175,7)$ trovare il valore $x_{0{,}95}$ sotto cui cade il $95\%$ della popolazione.

Il percentile cercato soddisfa

P(X\le x_{0{,}95})=0{,}95.

Per la normale standard, $z_{0{,}95}=1{,}645$ . Quindi:

\dfrac{x_{0{,}95}-175}{7}=1{,}645 \quad\Rightarrow\quad x_{0{,}95}=175+1{,}645\cdot7=186{,}5.

Circa il $95\%$ della popolazione è sotto $186{,}5\ \text{cm}$ . Attenzione a non usare $1{,}96$ : quello è il quantile bilaterale centrale al $95\%$ , non il percentile unilaterale.

11. Proprietà senza memoria dell’esponenziale

Esercizio. La vita di un componente è esponenziale con media $500\ \text{h}$ . Sapendo che ha già funzionato $400\ \text{h}$ , qual è la probabilità che funzioni almeno altre $800\ \text{h}$ ?

Per l’esponenziale vale la proprietà senza memoria:

P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t).

Qui $t=800$ e $\lambda=1/500=0{,}002$ :

P(X>1200\mid X>400)=P(X>800)=e^{-0{,}002\cdot800}=e^{-1{,}6}=0{,}202.

Il fatto che il componente sia sopravvissuto $400$ ore non modifica la distribuzione del tempo residuo nel modello esponenziale. Se il tasso di guasto cambia con l’età, il modello non è più adatto.

12. Campionamento senza reinserimento: ipergeometrica

Esercizio. Un lotto contiene $20$ pezzi, di cui $5$ difettosi. Si estraggono $4$ pezzi senza reinserimento. Probabilità di trovarne esattamente $2$ difettosi?

Senza reinserimento le prove non sono indipendenti, quindi non si usa la binomiale. Si usa l’ipergeometrica:

P(X=k)=\dfrac{\binom{D}{k}\binom{N-D}{n-k}}{\binom{N}{n}},

dove $N=20$ , $D=5$ , $n=4$ , $k=2$ . Quindi

P(X=2)=\dfrac{\binom52\binom{15}{2}}{\binom{20}{4}} =\dfrac{10\cdot105}{4845} =0{,}217.

La binomiale sarebbe appropriata con reinserimento o con popolazione molto grande rispetto al campione; qui il campionamento modifica le probabilità a ogni estrazione.

Errori comuni

Scegliere la distribuzione sbagliata. Conteggi di successi → binomiale; eventi rari nel tempo → Poisson; tempi di attesa → esponenziale; medie e somme → normale.
Confondere geometrica e binomiale. La binomiale fissa il numero di prove e conta i successi; la geometrica conta le prove fino al primo successo.
Dimenticare la standardizzazione. Le tabelle danno $\Phi(z)$ per la $N(0,1)$ : senza standardizzare con $z=(x-\mu)/\sigma$ il valore è inutilizzabile.
Applicare l’approssimazione di Poisson fuori condizioni. Vale solo per $p$ piccolo e $n$ grande; per $p$ moderato serve la binomiale o l’approssimazione normale.
Usare la binomiale senza indipendenza. Nel campionamento senza reinserimento da popolazioni finite serve l’ipergeometrica.
Scambiare quantili unilaterali e bilaterali. $1{,}645$ è il percentile $95\%$ della normale standard; $1{,}96$ delimita il $95\%$ centrale.