Distribuzione stazionaria — ingegnerismo.it

Una distribuzione stazionaria è una distribuzione di probabilità che rimane invariata quando il processo evolve. Per una catena di Markov a tempo discreto con matrice di transizione $P$ , una distribuzione $\pi$ è stazionaria se:

\pi P=\pi, \qquad \sum_i \pi_i=1, \qquad \pi_i\ge 0.

La distribuzione viene scritta come vettore riga quando le probabilità evolvono secondo $\mu_{n+1}=\mu_n P$ . Se il processo parte già da $\pi$ , dopo un passo la distribuzione è ancora $\pi$ ; dopo qualunque numero di passi rimane invariata. Per una catena a tempo continuo con generatore $Q$ , la condizione corrispondente è:

\pi Q=0, \qquad \sum_i \pi_i=1.

In uno spazio finito, trovare una distribuzione stazionaria significa risolvere un sistema lineare con vincolo di normalizzazione. In termini fisici o ingegneristici, $\pi_i$ rappresenta la frazione di tempo attesa nello stato $i$ quando il sistema lavora a regime. Per questo il concetto è usato in code, reti di comunicazione, affidabilità, simulazione Monte Carlo, manutenzione e modelli di traffico.

La distribuzione stazionaria non coincide sempre con la distribuzione limite. Una catena può avere una distribuzione stazionaria ma non convergere ad essa da ogni condizione iniziale. Servono condizioni come irriducibilità, ricorrenza positiva e, nel caso discreto, aperiodicità. Quando queste condizioni valgono, la catena dimentica la distribuzione iniziale e:

\mu_0 P^n \longrightarrow \pi \qquad \text{per } n\to\infty.

Una distinzione utile è tra equilibrio globale ed equilibrio dettagliato. La stazionarietà richiede che il flusso totale entrante in ogni stato uguagli il flusso totale uscente. L’equilibrio dettagliato impone invece una condizione più forte, coppia per coppia:

\pi_i P_{ij}=\pi_j P_{ji}

Quando questa relazione vale, la catena è reversibile rispetto a $\pi$ . Molti algoritmi Monte Carlo costruiscono deliberatamente una catena reversibile perché la distribuzione stazionaria desiderata sia una distribuzione assegnata.

In queste condizioni il teorema ergodico permette anche di stimare medie rispetto a $\pi$ tramite medie temporali lungo una singola traiettoria della catena.

Un errore comune è interpretare $\pi_i$ come la probabilità di trovarsi nello stato $i$ dopo pochi passi. In generale $\pi$ descrive il regime, non necessariamente il transitorio. La velocità con cui il processo si avvicina alla distribuzione stazionaria dipende dalla struttura della matrice di transizione, dalla presenza di stati quasi assorbenti e dal mescolamento della catena.

Vedi anche: Catena di Markov, Ergodicità, Teorema ergodico.