La distribuzione multinomiale è una distribuzione di probabilità discreta che estende la Distribuzione Binomiale al caso in cui ogni prova possa avere k > 2 esiti possibili.
Definizione
Si considerino n prove indipendenti. In ogni prova, l’esito i si verifica con probabilità p_i, con \sum_{i=1}^k p_i = 1. La distribuzione multinomiale fornisce la probabilità che l’esito 1 si verifichi x_1 volte, l’esito 2 si verifichi x_2 volte, e così via: P(X_1=x_1, \dots, X_k=x_k) = \frac{n!}{x_1! x_2! \dots x_k!} p_1^{x_1} p_2^{x_2} \dots p_k^{x_k}
Proprietà
- È una distribuzione per un Vettore Aleatorio di conteggi.
- Le singole componenti X_i seguono distribuzioni binomiali marginali, ma non sono indipendenti tra loro (perché la loro somma deve essere n).
Significato Ingegneristico
- Controllo Qualità Multi-Classe: Invece di classificare i pezzi solo come “buoni” o “scarti”, un ingegnere può usare la multinomiale per modellare pezzi “perfetti”, “con difetti estetici” e “da rottamare”.
- Analisi del Traffico di Rete: Modellare il numero di pacchetti di dati che vengono instradati verso diverse destinazioni (Router A, B, C) in un intervallo di tempo.
- Teoria dei Giochi e Simulazioni: Utilizzata per modellare la distribuzione di risorse o di voti tra più candidati/opzioni in sistemi complessi.
- Natural Language Processing (NLP): In informatica, è alla base del modello “Bag of Words”, dove si conta quante volte diverse parole di un dizionario appaiono in un testo.
Vedi anche: Distribuzione Binomiale, Vettore Aleatorio, Calcolo Combinatorio.