Distribuzione Multinomiale

La distribuzione multinomiale è una distribuzione di probabilità discreta che estende la Distribuzione Binomiale al caso in cui ogni prova possa avere $k > 2$ esiti possibili.

Definizione

Si considerino $n$ prove indipendenti. In ogni prova, l’esito $i$ si verifica con probabilità $p_i$, con $\sum_{i=1}^k p_i = 1$. La distribuzione multinomiale fornisce la probabilità che l’esito 1 si verifichi $x_1$ volte, l’esito 2 si verifichi $x_2$ volte, e così via: $P(X_1=x_1, \dots, X_k=x_k) = \frac{n!}{x_1! x_2! \dots x_k!} p_1^{x_1} p_2^{x_2} \dots p_k^{x_k}$

Proprietà

• È una distribuzione per un Vettore Aleatorio di conteggi.
• Le singole componenti $X_i$ seguono distribuzioni binomiali marginali, ma non sono indipendenti tra loro (perché la loro somma deve essere $n$).

Significato Ingegneristico

• Controllo Qualità Multi-Classe: Invece di classificare i pezzi solo come “buoni” o “scarti”, un ingegnere può usare la multinomiale per modellare pezzi “perfetti”, “con difetti estetici” e “da rottamare”.
• Analisi del Traffico di Rete: Modellare il numero di pacchetti di dati che vengono instradati verso diverse destinazioni (Router A, B, C) in un intervallo di tempo.
• Teoria dei Giochi e Simulazioni: Utilizzata per modellare la distribuzione di risorse o di voti tra più candidati/opzioni in sistemi complessi.
• Natural Language Processing (NLP): In informatica, è alla base del modello “Bag of Words”, dove si conta quante volte diverse parole di un dizionario appaiono in un testo.

Vedi anche: Distribuzione Binomiale, Vettore Aleatorio, Calcolo Combinatorio.