Distribuzione Log-Normale — ingegnerismo.it

Una variabile aleatoria $X$ segue la distribuzione log-normale se il suo logaritmo naturale $Y = \ln(X)$ segue una Distribuzione Normale. È una distribuzione definita solo per valori positivi ( $x > 0$ ) e presenta una spiccata asimmetria positiva.

Definizione

La Funzione di Densità di Probabilità è: $f_X(x) = \frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad x > 0$ dove $\mu$ e $\sigma$ sono rispettivamente la media e la deviazione standard del logaritmo della variabile (non della variabile stessa).

Proprietà

Asimmetria: Ha una coda molto lunga verso destra.
Relatività: Mentre la Normale è il risultato della somma di molti effetti indipendenti (CLT), la Log-normale è il risultato del prodotto di molti effetti indipendenti positivi.

Significato Ingegneristico

Affidabilità e Manutenzione: È uno dei modelli più usati per il tempo di riparazione (MTTR - Mean Time To Repair), dove la maggior parte delle riparazioni è veloce ma alcune richiedono tempi lunghissimi.
Ingegneria Mineraria e Geologica: La distribuzione della dimensione delle particelle di polvere o della concentrazione di minerali preziosi in un giacimento è spesso log-normale (Legge di Galton).
Idrologia: Modella i volumi massimi di piena dei fiumi o le portate estreme.
Meccanica della Frattura: La distribuzione della lunghezza delle cricche da fatica in componenti strutturali.

Vedi anche: Distribuzione Normale, Asimmetria Statistica.