La distribuzione ipergeometrica modella il numero di successi in una sequenza di estrazioni da una popolazione finita, quando l’estrazione avviene senza reinserimento. A differenza della Distribuzione Binomiale, le prove non sono indipendenti: l’esito di ogni estrazione altera la probabilità delle successive.
Definizione
Sia N la dimensione della popolazione totale, K il numero di elementi “successo” nella popolazione e n il numero di elementi estratti. La variabile aleatoria X (numero di successi nel campione) segue una distribuzione ipergeometrica se: P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} per k \in \{\max(0, n+K-N), \dots, \min(n, K)\}.
Indicatori Statistici
- Valore Atteso: E[X] = n \cdot \frac{K}{N}
- Varianza: \text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N-K}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1} Il termine \frac{N-n}{N-1} è detto fattore di correzione per popolazioni finite.
Significato Ingegneristico
- Controllo Qualità (Campionamento per Accettazione): Se un lotto di N pezzi contiene K pezzi difettosi, la distribuzione ipergeometrica permette di calcolare la probabilità che un campione di n pezzi contenga k difetti. È il modello corretto quando il lotto è piccolo e non si può assumere il reinserimento.
- Ecologia e Ingegneria Ambientale: Utilizzata nel metodo “Cattura-Ricattura” per stimare la dimensione di una popolazione animale in un habitat.
- Sicurezza delle Reti: Modella la probabilità di compromettere un certo numero di nodi critici estraendoli casualmente da una rete finita di server.
Vedi anche: Distribuzione Binomiale, Coefficiente Binomiale.