Distribuzione Ipergeometrica

Voci di Glossario Probabilità e Statistica
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    La distribuzione ipergeometrica modella il numero di successi in una sequenza di estrazioni da una popolazione finita, quando l’estrazione avviene senza reinserimento. A differenza della Distribuzione Binomiale, le prove non sono indipendenti: l’esito di ogni estrazione altera la probabilità delle successive.

    Definizione

    Sia NN la dimensione della popolazione totale, KK il numero di elementi “successo” nella popolazione e nn il numero di elementi estratti. La variabile aleatoria XX (numero di successi nel campione) segue una distribuzione ipergeometrica se: P(X=k)=(Kk)(N−Kn−k)(Nn)P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} per k∈{max⁡(0,n+K−N),…,min⁡(n,K)}k \in \{\max(0, n+K-N), \dots, \min(n, K)\}.

    Indicatori Statistici

    • Valore Atteso: E[X]=n⋅KNE[X] = n \cdot \frac{K}{N}
    • Varianza: Var(X)=n⋅KN⋅N−KN⋅N−nN−1\text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N-K}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1} Il termine N−nN−1\frac{N-n}{N-1} è detto fattore di correzione per popolazioni finite.

    Significato Ingegneristico

    • Controllo Qualità (Campionamento per Accettazione): Se un lotto di NN pezzi contiene KK pezzi difettosi, la distribuzione ipergeometrica permette di calcolare la probabilità che un campione di nn pezzi contenga kk difetti. È il modello corretto quando il lotto è piccolo e non si può assumere il reinserimento.
    • Ecologia e Ingegneria Ambientale: Utilizzata nel metodo “Cattura-Ricattura” per stimare la dimensione di una popolazione animale in un habitat.
    • Sicurezza delle Reti: Modella la probabilità di compromettere un certo numero di nodi critici estraendoli casualmente da una rete finita di server.

    Vedi anche: Distribuzione Binomiale, Coefficiente Binomiale.

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