La distribuzione geometrica descrive il tempo di attesa necessario per osservare il primo successo in una sequenza di esperimenti di Bernoulli indipendenti e identicamente distribuiti.
Definizione
Sia p la probabilità di successo in ogni prova. Esistono due formulazioni comuni della variabile X:
- Numero di prove fino al primo successo incluso: X \in \{1, 2, 3, \dots\} P(X = k) = (1-p)^{k-1} p
- Numero di fallimenti prima del primo successo: Y \in \{0, 1, 2, \dots\} P(Y = k) = (1-p)^k p
Indicatori Statistici (per la versione 1)
- Valore Atteso: E[X] = 1/p
- Varianza: \text{Var}(X) = (1-p)/p^2
Proprietà di Assenza di Memoria
La distribuzione geometrica è l’unica distribuzione discreta che gode della proprietà di assenza di memoria: P(X > n + m \mid X > n) = P(X > m) In parole semplici: se hai già effettuato n prove senza successo, la probabilità di dover attendere altre m prove è identica alla probabilità che avresti avuto all’inizio. Il sistema “non invecchia”.
Significato Ingegneristico
- Protocolli di Comunicazione (ARQ): Se un pacchetto dati ha una probabilità p di essere ricevuto correttamente, la distribuzione geometrica modella il numero di tentativi di trasmissione necessari affinché il pacchetto arrivi a destinazione.
- Affidabilità: Modella il tempo di vita (in cicli discreti) di un componente che non subisce usura, ma che può rompersi in ogni istante con probabilità costante (guasto casuale).
- Algoritmi di Ricerca: Modella il numero di iterazioni necessarie per trovare un elemento in una ricerca casuale in un database.
Vedi anche: Distribuzione di Bernoulli, Distribuzione Esponenziale.