Distribuzione Geometrica — ingegnerismo.it

La distribuzione geometrica descrive il tempo di attesa necessario per osservare il primo successo in una sequenza di esperimenti di Bernoulli indipendenti e identicamente distribuiti.

Definizione

Sia $p$ la probabilità di successo in ogni prova. Esistono due formulazioni comuni della variabile $X$ :

Numero di prove fino al primo successo incluso: $X \in \{1, 2, 3, \dots\}$ $P(X = k) = (1-p)^{k-1} p$
Numero di fallimenti prima del primo successo: $Y \in \{0, 1, 2, \dots\}$ $P(Y = k) = (1-p)^k p$

Indicatori Statistici (per la versione 1)

Valore Atteso: $E[X] = 1/p$
Varianza: $\text{Var}(X) = (1-p)/p^2$

Proprietà di Assenza di Memoria

La distribuzione geometrica è l’unica distribuzione discreta che gode della proprietà di assenza di memoria: $P(X > n + m \mid X > n) = P(X > m)$ In parole semplici: se hai già effettuato $n$ prove senza successo, la probabilità di dover attendere altre $m$ prove è identica alla probabilità che avresti avuto all’inizio. Il sistema “non invecchia”.

Significato Ingegneristico

Protocolli di Comunicazione (ARQ): Se un pacchetto dati ha una probabilità $p$ di essere ricevuto correttamente, la distribuzione geometrica modella il numero di tentativi di trasmissione necessari affinché il pacchetto arrivi a destinazione.
Affidabilità: Modella il tempo di vita (in cicli discreti) di un componente che non subisce usura, ma che può rompersi in ogni istante con probabilità costante (guasto casuale).
Algoritmi di Ricerca: Modella il numero di iterazioni necessarie per trovare un elemento in una ricerca casuale in un database.

Vedi anche: Distribuzione di Bernoulli, Distribuzione Esponenziale.