Distribuzione Esponenziale

La distribuzione esponenziale è una distribuzione continua utilizzata per modellare la durata del tempo tra due eventi consecutivi in un Processo di Poisson.

Definizione

Una variabile aleatoria $X$ segue la distribuzione esponenziale con parametro $\lambda > 0$ ($X \sim \text{Exp}(\lambda)$) se la sua Funzione di Densità di Probabilità è: $f_X(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{se } x \geq 0 \\ 0 & \text{se } x < 0 \end{cases}$

La sua Funzione di Ripartizione è $F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x}$.

Indicatori Statistici

• Valore Atteso: $E[X] = 1/\lambda$
• Varianza: $\text{Var}(X) = 1/\lambda^2$

Proprietà di Assenza di Memoria

È l’unica distribuzione continua a godere della proprietà di assenza di memoria: $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t)$ In ingegneria, questo significa che se un componente non si è ancora guastato al tempo $s$, la probabilità che funzioni per altri $t$ secondi è la stessa di un componente nuovo. Questo modella i guasti puramente casuali.

Significato Ingegneristico

• Affidabilità (Reliability): È il modello base per i componenti elettronici durante la loro “vita utile” (fase centrale della curva a vasca da bagno), dove il tasso di guasto è costante.
• Teoria delle Code: Modella il tempo di inter-arrivo dei pacchetti in una rete o il tempo di servizio di un server in un sistema M/M/1.
• Radioattività: Modella il tempo di decadimento di un atomo radioattivo.
• Manutenzione: Il parametro $1/\lambda$ corrisponde al tempo medio fra i guasti (MTBF - Mean Time Between Failures).

Vedi anche: Distribuzione di Poisson, Distribuzione di Weibull, Affidabilità.