La distribuzione esponenziale è una distribuzione continua utilizzata per modellare la durata del tempo tra due eventi consecutivi in un Processo di Poisson.
Definizione
Una variabile aleatoria X segue la distribuzione esponenziale con parametro \lambda > 0 (X \sim \text{Exp}(\lambda)) se la sua Funzione di Densità di Probabilità è: f_X(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{se } x \geq 0 \\ 0 & \text{se } x < 0 \end{cases}
La sua Funzione di Ripartizione è F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x}.
Indicatori Statistici
- Valore Atteso: E[X] = 1/\lambda
- Varianza: \text{Var}(X) = 1/\lambda^2
Proprietà di Assenza di Memoria
È l’unica distribuzione continua a godere della proprietà di assenza di memoria: P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t) In ingegneria, questo significa che se un componente non si è ancora guastato al tempo s, la probabilità che funzioni per altri t secondi è la stessa di un componente nuovo. Questo modella i guasti puramente casuali.
Significato Ingegneristico
- Affidabilità (Reliability): È il modello base per i componenti elettronici durante la loro “vita utile” (fase centrale della curva a vasca da bagno), dove il tasso di guasto è costante.
- Teoria delle Code: Modella il tempo di inter-arrivo dei pacchetti in una rete o il tempo di servizio di un server in un sistema M/M/1.
- Radioattività: Modella il tempo di decadimento di un atomo radioattivo.
- Manutenzione: Il parametro 1/\lambda corrisponde al tempo medio fra i guasti (MTBF - Mean Time Between Failures).
Vedi anche: Distribuzione di Poisson, Distribuzione di Weibull, Affidabilità.