Distribuzione di Maxwell-Boltzmann

La distribuzione di Maxwell-Boltzmann descrive la probabilità delle velocità molecolari in un gas ideale in equilibrio termodinamico. È l’estensione tridimensionale della distribuzione di Rayleigh.

Definizione

Si ottiene come il modulo di un vettore tridimensionale le cui componenti (le velocità lungo gli assi $x, y, z$ ) sono variabili Normali indipendenti. La densità è: $f(v) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \left( \frac{m}{kT} \right)^{3/2} v^2 e^{-mv^2 / (2kT)}$ dove $m$ è la massa della particella, $k$ la costante di Boltzmann e $T$ la temperatura assoluta.

Velocità Caratteristiche

Dalla distribuzione si ricavano tre velocità fondamentali:

Velocità più probabile (Moda): $v_p = \sqrt{2kT/m}$
Velocità media (Valore Atteso): $\bar{v} = \sqrt{8kT/(\pi m)}$
Velocità quadratica media (RMS): $v_{rms} = \sqrt{3kT/m}$

Significato Ingegneristico

Termodinamica e Trasmissione del Calore: È la base microscopica per la definizione macroscopica di temperatura e pressione. Permette di calcolare la frequenza degli urti tra molecole e tra molecole e pareti del contenitore.
Cinetica Chimica: Determina la frazione di molecole che hanno un’energia cinetica sufficiente a superare l’energia di attivazione per far avvenire una reazione chimica.
Ingegneria Aerospaziale: Utilizzata per modellare il comportamento di gas rarefatti (alta quota) dove il mezzo non può più essere considerato un fluido continuo.
Elettronica: La distribuzione di energia degli elettroni nei semiconduttori segue modelli simili, influenzando la conducibilità e il rumore termico.

Vedi anche: Distribuzione Normale, Distribuzione di Rayleigh.