Distribuzione di Cauchy

La distribuzione di Cauchy (o di Lorentz) è una distribuzione di probabilità continua nota per le sue proprietà “patologiche”: nonostante sia simmetrica e a forma di campana, le sue code sono così pesanti che il Valore Atteso e la Varianza non sono definiti (l’integrale diverge).

Definizione

La densità è data da: $f_X(x; x_0, \gamma) = \frac{1}{\pi \gamma \left[ 1 + \left( \frac{x-x_0}{\gamma} \right)^2 \right]}$ dove $x_0$ è il parametro di posizione (mediana e moda) e $\gamma$ è il parametro di scala.

Caratteristiche Uniche

• Assenza di Momenti: Non soddisfa la legge dei grandi numeri. La media di un campione di variabili di Cauchy segue la stessa distribuzione di Cauchy della singola variabile, senza alcuna riduzione della dispersione al crescere del campione.
• Forma: Rispetto alla Normale, ha un picco più stretto e code molto più alte.

Significato Ingegneristico

• Ottica e Spettroscopia: In fisica tecnica, la distribuzione di Cauchy modella la forma delle righe di emissione e assorbimento degli atomi (profilo di Lorentz) a causa dell’effetto di risonanza.
• Risonanza Magnetica e Radio: Descrive la risposta di un oscillatore forzato o di un circuito RLC vicino alla frequenza di risonanza.
• Analisi della Robustezza: In statistica ingegneristica, la distribuzione di Cauchy viene usata per testare la robustezza di un algoritmo: se l’algoritmo funziona con dati di Cauchy, funzionerà con quasi ogni altro tipo di dato rumoroso, poiché i dati di Cauchy contengono “outliers” estremi molto frequenti.

Vedi anche: Distribuzione Normale, Momento Statistico.