Distribuzione Beta

La distribuzione Beta è una famiglia di distribuzioni continue definite sull’intervallo limitato $[0, 1]$. Per questo motivo è la scelta naturale per modellare grandezze che rappresentano frazioni, percentuali o probabilità.

Definizione

Una variabile aleatoria $X$ segue la distribuzione Beta con parametri $\alpha > 0$ e $\beta > 0$ se la sua densità è: $f_X(x) = \frac{1}{B(\alpha, \beta)} x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}, \quad 0 \leq x \leq 1$ dove $B(\alpha, \beta)$ è la Funzione Beta.

Caratteristiche

A seconda dei parametri, la distribuzione Beta può assumere forme molto diverse:

• $\alpha = \beta = 1$: Distribuzione Uniforme $U(0, 1)$.
• $\alpha, \beta > 1$: Forma a campana, simmetrica se $\alpha = \beta$.
• $\alpha, \beta < 1$: Forma a “U”, con la probabilità concentrata agli estremi 0 e 1.

Significato Ingegneristico

• Statistica Bayesiana: La distribuzione Beta è la prior coniugata della distribuzione Binomiale. Se un ingegnere vuole stimare la probabilità di difetto $p$ di una macchina, inizialmente modella $p$ con una distribuzione Beta. Dopo aver osservato i dati, la probabilità a posteriori sarà ancora una Beta.
• Gestione Progetti (PERT): Nella tecnica PERT (Program Evaluation and Review Technique), la distribuzione Beta è usata per modellare la durata di un’attività quando si conoscono il tempo ottimistico ($a$), quello pessimistico ($b$) e quello più probabile ($m$).
• Analisi di Affidabilità: Modella la disponibilità di un sistema o la percentuale di tempo in cui una risorsa è operativa.

Vedi anche: Funzione Beta, Distribuzione Binomiale, Statistica Bayesiana.