La distribuzione Beta è una famiglia di distribuzioni continue definite sull’intervallo limitato [0, 1]. Per questo motivo è la scelta naturale per modellare grandezze che rappresentano frazioni, percentuali o probabilità.
Definizione
Una variabile aleatoria X segue la distribuzione Beta con parametri \alpha > 0 e \beta > 0 se la sua densità è: f_X(x) = \frac{1}{B(\alpha, \beta)} x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}, \quad 0 \leq x \leq 1 dove B(\alpha, \beta) è la Funzione Beta.
Caratteristiche
A seconda dei parametri, la distribuzione Beta può assumere forme molto diverse:
- \alpha = \beta = 1: Distribuzione Uniforme U(0, 1).
- \alpha, \beta > 1: Forma a campana, simmetrica se \alpha = \beta.
- \alpha, \beta < 1: Forma a “U”, con la probabilità concentrata agli estremi 0 e 1.
Significato Ingegneristico
- Statistica Bayesiana: La distribuzione Beta è la prior coniugata della distribuzione Binomiale. Se un ingegnere vuole stimare la probabilità di difetto p di una macchina, inizialmente modella p con una distribuzione Beta. Dopo aver osservato i dati, la probabilità a posteriori sarà ancora una Beta.
- Gestione Progetti (PERT): Nella tecnica PERT (Program Evaluation and Review Technique), la distribuzione Beta è usata per modellare la durata di un’attività quando si conoscono il tempo ottimistico (a), quello pessimistico (b) e quello più probabile (m).
- Analisi di Affidabilità: Modella la disponibilità di un sistema o la percentuale di tempo in cui una risorsa è operativa.
Vedi anche: Funzione Beta, Distribuzione Binomiale, Statistica Bayesiana.