Disposizioni

Le disposizioni di $n$ oggetti distinti di classe $k$ (con $k \leq n$) sono tutti i possibili gruppi di $k$ elementi scelti tra gli $n$, che si distinguono tra loro o per la natura degli elementi o per il loro ordine.

Disposizioni Semplici

In una disposizione semplice, ogni oggetto può essere scelto al massimo una volta. Il numero di disposizioni è dato da: $D_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$

Esempio: In una gara con 10 atleti, il numero di modi in cui si possono assegnare le medaglie di oro, argento e bronzo è $D_{10,3} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$.

Disposizioni con Ripetizione

Se ogni oggetto può essere scelto più volte, si parla di disposizioni con ripetizione. Il numero di modi è: $D'_{n,k} = n^k$

Esempio: Il numero di possibili codici PIN di 4 cifre (da 0 a 9) è $D'_{10,4} = 10^4 = 10.000$.

Significato Ingegneristico

• Telecomunicazioni e Reti: Il numero di indirizzi disponibili in un protocollo (come gli indirizzi IPv4 o IPv6) è calcolato tramite disposizioni con ripetizione (base 2 elevata al numero di bit).
• Sicurezza Informatica: Il calcolo dello spazio delle chiavi per un sistema di autenticazione o per un algoritmo di hashing si basa sulle disposizioni.
• Affidabilità di Sistema: Nel calcolo della probabilità di guasto di sequenze specifiche di eventi (dove l’ordine degli errori determina il tipo di avaria), si utilizzano le disposizioni.
• Ingegneria Gestionale: Pianificare l’assegnazione di $k$ risorse diverse a $n$ siti produttivi, dove l’ordine di assegnazione o la specificità della risorsa conta.

Vedi anche: Calcolo Combinatorio, Permutazioni, Combinazioni.