Differenziale e Linearizzazione

Il differenziale di una funzione $f$ in $x_0$ è la parte lineare principale della variazione di $f$ quando l’argomento varia di $dx$: $df = f'(x_0)\, dx$

Approssimazione Lineare

Se $f$ è derivabile in $x_0$, per $\Delta x$ piccolo: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x$

L’errore di questa approssimazione è $o(\Delta x)$, ovvero trascurabile rispetto a $\Delta x$.

Differenziale come Applicazione Lineare

Geometricamente, $df$ è il valore sulla retta tangente nel punto $(x_0, f(x_0))$. La retta tangente è il miglior approssimante lineare del grafico in quel punto.

Linearizzazione in Ingegneria

La linearizzazione è fondamentale in:

• Controllo automatico: un sistema non lineare $\dot{x} = f(x, u)$ viene linearizzato intorno a un punto di equilibrio $(x_e, u_e)$ ottenendo $\delta\dot{x} = A\,\delta x + B\,\delta u$.
• Propagazione degli errori: se $y = f(x)$ e $x$ è misurato con incertezza $\delta x$, allora $\delta y \approx |f'(x)|\,\delta x$.
• Metodi numerici: il metodo di Newton per la ricerca degli zeri si basa sulla sostituzione della funzione con il suo differenziale.

Invarianza del Differenziale

Per una funzione composta $f(g(x))$: $d(f \circ g) = f'(g(x))\,g'(x)\,dx$. La forma del differenziale è indipendente dalla variabile di parametrizzazione.