Il differenziale di una funzione f in x_0 è la parte lineare principale della variazione di f quando l’argomento varia di dx: df = f'(x_0)\, dx
Approssimazione Lineare
Se f è derivabile in x_0, per \Delta x piccolo: f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x
L’errore di questa approssimazione è o(\Delta x), ovvero trascurabile rispetto a \Delta x.
Differenziale come Applicazione Lineare
Geometricamente, df è il valore sulla retta tangente nel punto (x_0, f(x_0)). La retta tangente è il miglior approssimante lineare del grafico in quel punto.
Linearizzazione in Ingegneria
La linearizzazione è fondamentale in:
- Controllo automatico: un sistema non lineare \dot{x} = f(x, u) viene linearizzato intorno a un punto di equilibrio (x_e, u_e) ottenendo \delta\dot{x} = A\,\delta x + B\,\delta u.
- Propagazione degli errori: se y = f(x) e x è misurato con incertezza \delta x, allora \delta y \approx |f'(x)|\,\delta x.
- Metodi numerici: il metodo di Newton per la ricerca degli zeri si basa sulla sostituzione della funzione con il suo differenziale.
Invarianza del Differenziale
Per una funzione composta f(g(x)): d(f \circ g) = f'(g(x))\,g'(x)\,dx. La forma del differenziale è indipendente dalla variabile di parametrizzazione.