Le derivate successive si ottengono derivando ripetutamente: f''=(f')', f'''=(f'')', e in generale f^{(n)} è la derivata n-esima. Servono per la concavità (derivata seconda), per i flessi, per gli sviluppi di Taylor (che usano f^{(n)}(0)) e per le equazioni differenziali. Spesso si cerca una formula generale per f^{(n)} riconoscendo il pattern delle prime derivate.
1. L’esponenziale e^(ax)
Esercizio. Trovare la derivata n-esima di f(x)=e^{ax}.
Ogni derivazione, per la regola della catena, fa «scendere» un fattore a:
f'=a\,e^{ax},\quad f''=a^2 e^{ax},\quad f'''=a^3 e^{ax},\ \dots
Il pattern è evidente:
f^{(n)}(x)=a^n\,e^{ax}.
(Per a=1, \big(e^x\big)^{(n)}=e^x: l’esponenziale è infinitamente derivabile e «invariante».)
2. Il seno (derivate periodiche)
Esercizio. Trovare la derivata n-esima di f(x)=\sin x.
Le derivate si ripetono con periodo 4:
f'=\cos x,\quad f''=-\sin x,\quad f'''=-\cos x,\quad f^{(4)}=\sin x,\ \dots
Si può scrivere in forma compatta osservando che ogni derivazione «sfasa» di \displaystyle \dfrac{\pi}{2}:
f^{(n)}(x)=\sin\!\left(x+n\dfrac{\pi}{2}\right).
(Verifica: n=1 dà \displaystyle \sin(x+\dfrac{\pi}{2})=\cos x; n=2 dà \sin(x+\pi)=-\sin x. ✓)
3. La funzione 1/x
Esercizio. Trovare la derivata n-esima di f(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1}.
Applichiamo ripetutamente la regola della potenza:
f'=-x^{-2},\quad f''=2x^{-3},\quad f'''=-6x^{-4},\quad f^{(4)}=24x^{-5},\ \dots
I coefficienti 1,2,6,24 sono i fattoriali n!, e il segno alterna. La formula generale:
f^{(n)}(x)=(-1)^n\,\dfrac{n!}{x^{n+1}}.
4. Il prodotto x·e^x
Esercizio. Trovare la derivata n-esima di f(x)=x\,e^x.
Calcoliamo le prime derivate (regola del prodotto):
f'=e^x+x e^x=(x+1)e^x,\quad f''=(x+2)e^x,\quad f'''=(x+3)e^x,\ \dots
Ogni derivazione aumenta di 1 la costante additiva. Il pattern:
f^{(n)}(x)=(x+n)\,e^x.
Formula di Leibniz. Per la derivata n-esima di un prodotto vale \displaystyle (fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}. Qui, con f=x (le cui derivate oltre la prima sono nulle) e g=e^x, la somma ha solo due termini (k=0 e k=1): x\,e^x+n\cdot 1\cdot e^x=(x+n)e^x, confermando il pattern.
5. Il logaritmo
Esercizio. Trovare la derivata n-esima di f(x)=\ln x.
La prima derivata riconduce al caso di \dfrac{1}{x}: f'(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1}. Da qui le successive seguono il pattern dell’esercizio 3, ma «sfasate» di uno (perché si parte da f'):
f''=-x^{-2},\quad f'''=2x^{-3},\quad f^{(4)}=-6x^{-4},\ \dots
La formula generale (valida per n\geq 1):
f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\,\dfrac{(n-1)!}{x^n}.
(Verifica: n=1 dà \displaystyle (-1)^0\dfrac{0!}{x}=\dfrac{1}{x} ✓; n=2 dà \displaystyle (-1)^1\dfrac{1!}{x^2}=-\dfrac{1}{x^2} ✓.)
6. Coseno con frequenza e fase
Esercizio. Trovare la derivata n-esima di:
f(x)=\cos(ax+b).
Ogni derivazione introduce un fattore a per la regola della catena e uno sfasamento di \dfrac{\pi}{2}. Le prime derivate sono:
f'(x)=-a\sin(ax+b),
f''(x)=-a^2\cos(ax+b),
f'''(x)=a^3\sin(ax+b),
f^{(4)}(x)=a^4\cos(ax+b).
Una forma compatta è:
\boxed{f^{(n)}(x)=a^n\cos\!\left(ax+b+n\dfrac{\pi}{2}\right)}.
Verifica rapida per n=1:
a\cos\!\left(ax+b+\dfrac{\pi}{2}\right)=-a\sin(ax+b),
che coincide con la derivata prima. La frequenza a compare elevata alla potenza n: nelle derivate di ordine alto le oscillazioni ad alta frequenza vengono amplificate.
7. Polinomio: quando le derivate si annullano
Esercizio. Calcolare le derivate successive di:
f(x)=3x^4-2x^3+x-5
fino all’annullamento.
Deriviamo:
f'(x)=12x^3-6x^2+1,
f''(x)=36x^2-12x,
f'''(x)=72x-12,
f^{(4)}(x)=72,
f^{(5)}(x)=0.
Risultato:
\boxed{f^{(n)}(x)=0\quad\text{per ogni } n\geq 5}.
Un polinomio di grado m ha derivata nulla a partire dall’ordine m+1. Questo fatto è alla base del perché lo sviluppo di Taylor di un polinomio si ferma dopo un numero finito di termini.
8. Prodotto polinomio-esponenziale
Esercizio. Trovare una formula per la derivata n-esima di:
f(x)=x^2e^x.
Usiamo la formula di Leibniz:
Poniamo:
u(x)=x^2,\qquad v(x)=e^x.
Le derivate di u sono:
u=x^2,\qquad u'=2x,\qquad u''=2,\qquad u^{(k)}=0 \text{ per } k\geq 3.
Le derivate di v sono sempre e^x. Nella somma di Leibniz restano quindi solo i termini k=0,1,2:
Semplificando:
Quindi:
\boxed{f^{(n)}(x)=e^x\left(x^2+2nx+n(n-1)\right)}.
Controllo per n=1:
e^x(x^2+2x),
che è proprio la derivata di x^2e^x.
9. Derivate in zero e coefficienti di Taylor
Esercizio. Calcolare i coefficienti fino al quarto ordine dello sviluppo di Taylor in 0 di:
f(x)=e^{2x}.
Le derivate successive sono:
f^{(n)}(x)=2^n e^{2x}.
Valutando in 0:
f^{(n)}(0)=2^n.
Lo sviluppo di Taylor in 0 è:
Fino al quarto ordine:
Semplificando:
Qui le derivate successive non sono un esercizio formale: determinano direttamente i coefficienti dell’approssimazione polinomiale locale.
10. Test della prima derivata non nulla
Esercizio. Stabilire il comportamento locale di:
f(x)=x^4
in x_0=0 usando le derivate successive.
Calcoliamo:
f'(x)=4x^3,\qquad f''(x)=12x^2,\qquad f'''(x)=24x,\qquad f^{(4)}(x)=24.
Valutando in 0:
f'(0)=0,\qquad f''(0)=0,\qquad f'''(0)=0,\qquad f^{(4)}(0)=24>0.
La prima derivata non nulla è di ordine pari e positiva. Quindi x_0=0 è un minimo locale.
\boxed{x=0 \text{ è un minimo locale}}.
Se la prima derivata non nulla fosse stata di ordine dispari, non avremmo avuto un estremo locale ma un attraversamento con flesso orizzontale. Questo criterio è utile quando il test della derivata seconda è inconcludente.
Sintesi: trovare la formula n-esima
- Calcolare le prime 3–4 derivate e cercare il pattern: come variano coefficiente, segno ed esponente.
- Coefficienti ricorrenti: i fattoriali n! compaiono derivando potenze negative (\dfrac{1}{x} e simili); le potenze a^n derivando esponenziali e^{ax}.
- Segno alternato: un fattore (-1)^n o (-1)^{n-1} segnala derivate che cambiano segno a ogni passo (tipico di \dfrac{1}{x} e \ln x).
- Funzioni periodiche: seno e coseno hanno derivate che si ripetono con periodo 4, esprimibili con uno sfasamento di \displaystyle n\dfrac{\pi}{2}.
- Formula di Leibniz \displaystyle (fg)^{(n)}=\sum_k\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}: utile quando uno dei due fattori ha derivate che si annullano presto (come i polinomi), riducendo la somma a pochi termini.
- Polinomi: un polinomio di grado m ha derivate nulle dall’ordine m+1 in poi.
- Taylor ed estremi: i valori f^{(n)}(0) determinano i coefficienti dello sviluppo locale; la prima derivata non nulla aiuta a classificare estremi quando f'' si annulla.
La derivata seconda è quella che si usa più spesso nello studio di funzione, per concavità e flessi; le derivate di ogni ordine servono invece per gli sviluppi di Taylor.