La derivata misura la rapidità di variazione di una funzione ed è lo strumento centrale del calcolo differenziale. Questa scheda allena le derivate delle funzioni elementari e le due regole più semplici (linearità e potenza), prima di passare a prodotto e quoziente e alla regola della catena.
Tabella delle derivate elementari (da conoscere a memoria):
| f(x) | f'(x) |
|---|---|
| x^n (con n reale) | n\,x^{n-1} |
| \sqrt{x}=x^{1/2} | \dfrac{1}{2\sqrt{x}} |
| \dfrac{1}{x}=x^{-1} | -\dfrac{1}{x^2} |
| e^x | e^x |
| \ln x | \dfrac{1}{x} |
| \sin x | \cos x |
| \cos x | -\sin x |
Regola di linearità: \big(a\,f(x)+b\,g(x)\big)'=a\,f'(x)+b\,g'(x) (la derivata di una somma è la somma delle derivate, e le costanti moltiplicative si conservano). La derivata di una costante è 0.
1. Derivata di un polinomio
Esercizio. Derivare f(x)=3x^4-2x^2+5x-7.
Applichiamo la regola della potenza a ogni termine e la linearità:
- (3x^4)'=3\cdot 4x^3=12x^3;
- (-2x^2)'=-2\cdot 2x=-4x;
- (5x)'=5;
- (-7)'=0.
f'(x)=12x^3-4x+5.
2. Radici e potenze a esponente negativo
Conviene riscrivere radici e frazioni come potenze prima di derivare.
Esercizio. Derivare f(x)=\sqrt{x}.
Scriviamo \sqrt{x}=x^{1/2} e applichiamo la regola della potenza con n=\dfrac{1}{2}:
f'(x)=\dfrac{1}{2} x^{1/2-1}=\dfrac{1}{2} x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
Esercizio. Derivare f(x)=\dfrac{1}{x}.
Scriviamo \dfrac{1}{x}=x^{-1}, con n=-1:
f'(x)=-1\cdot x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}.
Esercizio. Derivare f(x)=\sqrt[3]{x}.
Scriviamo \sqrt[3]{x}=x^{1/3}, con n=\dfrac{1}{3}:
f'(x)=\dfrac{1}{3} x^{1/3-1}=\dfrac{1}{3} x^{-2/3}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}.
3. Funzioni elementari trascendenti
Esercizio. Derivare f(x)=e^x, g(x)=\ln x, h(x)=\sin x.
Direttamente dalla tabella:
f'(x)=e^x,\qquad g'(x)=\dfrac{1}{x},\qquad h'(x)=\cos x.
(L’esponenziale e^x è l’unica funzione, a meno di costanti, che coincide con la propria derivata.)
4. Combinazione lineare
Esercizio. Derivare f(x)=2\sin x-3\cos x+4e^x.
Per linearità, derivando termine a termine (e ricordando (\cos x)'=-\sin x, quindi (-3\cos x)'=+3\sin x):
f'(x)=2\cos x+3\sin x+4e^x.
5. Somma di potenze a esponente reale
Esercizio. Derivare f(x)=x^{3/2}+x^{-2}.
Regola della potenza su ciascun termine:
- \left(x^{3/2}\right)'=\dfrac{3}{2} x^{1/2}=\dfrac{3}{2}\sqrt{x};
- \left(x^{-2}\right)'=-2x^{-3}=-\dfrac{2}{x^3}.
f'(x)=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}-\dfrac{2}{x^3}.
6. Equazione della tangente
Esercizio. Determinare la retta tangente al grafico di f(x)=x^3-2x nel punto di ascissa x_0=1.
La retta tangente in x_0 ha equazione:
y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).
Calcoliamo il punto del grafico:
f(1)=1^3-2\cdot 1=-1.
Poi deriviamo:
f'(x)=3x^2-2,
e valutiamo la derivata in x_0=1:
f'(1)=3\cdot 1^2-2=1.
La tangente è quindi:
y+1=1(x-1),
cioè:
\boxed{y=x-2}.
La derivata non è solo un’operazione simbolica: in questo esercizio diventa il coefficiente angolare della migliore approssimazione lineare della curva nel punto assegnato.
7. Punti stazionari
Esercizio. Trovare i punti stazionari della funzione f(x)=x^3-3x.
I punti stazionari interni al dominio si cercano imponendo:
f'(x)=0.
Derivando:
f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1).
Poniamo la derivata uguale a zero:
3(x-1)(x+1)=0.
Quindi:
x=-1\qquad\text{oppure}\qquad x=1.
Le ordinate corrispondenti sono:
f(-1)=(-1)^3-3(-1)=2,
f(1)=1^3-3=-2.
I punti stazionari sono:
\boxed{(-1,2)}\qquad \boxed{(1,-2)}.
Per classificarli, osserviamo il segno di f'(x)=3(x-1)(x+1):
- per x<-1, f'(x)>0;
- per -1<x<1, f'(x)<0;
- per x>1, f'(x)>0.
Dunque (-1,2) è un massimo locale e (1,-2) è un minimo locale. L’errore tipico è fermarsi a f'(x)=0: quell’equazione individua candidati, non conclude da sola lo studio qualitativo.
8. Dominio della derivata
Esercizio. Studiare la derivabilità di f(x)=\sqrt{x} nel suo dominio.
La funzione è definita per:
x\geq 0.
Per x>0 possiamo scrivere:
f(x)=x^{1/2}.
Applicando la regola della potenza:
f'(x)=\dfrac{1}{2} x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
Questa formula è definita solo per:
x>0.
Nel punto x=0 la funzione esiste, ma la pendenza destra diventa illimitata:
\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=+\infty.
Conclusione:
\boxed{f \text{ è derivabile in } (0,+\infty), \text{ ma non è derivabile in } x=0}.
Dominio della funzione e dominio della derivata non coincidono necessariamente. Nei modelli applicativi questo dettaglio evita di attribuire una pendenza finita a punti di bordo, cuspidi o tangenti verticali.
9. Derivata seconda
Esercizio. Calcolare derivata prima e derivata seconda di f(x)=x^4-4x^2.
La derivata prima è:
f'(x)=4x^3-8x.
La derivata seconda si ottiene derivando ancora:
f''(x)=12x^2-8.
Risultato:
\boxed{f'(x)=4x^3-8x},\qquad \boxed{f''(x)=12x^2-8}.
La derivata prima descrive la variazione della funzione; la derivata seconda descrive come cambia quella variazione. In termini grafici, f''(x)>0 indica concavità verso l’alto, mentre f''(x)<0 indica concavità verso il basso.
Per individuare i candidati flessi si impone:
12x^2-8=0.
Da cui:
x^2=\dfrac{2}{3},\qquad x=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}.
Anche qui serve una verifica di segno: annullare la derivata seconda fornisce candidati, non garantisce automaticamente un flesso.
Sintesi: i riflessi da automatizzare
- Riscrivere prima di derivare: ogni radice diventa una potenza (\sqrt[n]{x^m}=x^{m/n}), ogni frazione con la variabile a denominatore diventa una potenza a esponente negativo (\displaystyle \dfrac{1}{x^k}=x^{-k}). Poi si applica la regola della potenza n\,x^{n-1}.
- Linearità: si deriva termine per termine; le costanti moltiplicative restano, la derivata di una costante additiva è 0.
- Memorizzare la tabella: le derivate di e^x, \ln x, \sin x, \cos x sono i mattoni di tutto il resto.
- Collegare derivata e geometria: tangenti, punti stazionari, concavità e domini di derivabilità sono già presenti anche negli esercizi di base.
Una volta acquisite queste regole, il passo successivo è derivare i prodotti e i quozienti di funzioni, e poi le funzioni composte con la regola della catena — gli strumenti che servono per derivare le funzioni dello studio di funzione.