Dopo le regole base, il passo successivo è derivare prodotti e quozienti di funzioni. Le due regole fondamentali:
\big(f\cdot g\big)'=f'g+fg'\qquad\text{(regola del prodotto, o di Leibniz)},
\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}\qquad\text{(regola del quoziente)}.
Attenzione all’ordine nella regola del quoziente: a numeratore è f'g-fg' (prima la derivata del numeratore per il denominatore), e il segno meno non è commutativo. Il denominatore è sempre g^2.
1. Regola del prodotto
Esercizio. Derivare f(x)=x^2\sin x.
Con f_1=x^2 (f_1'=2x) e f_2=\sin x (f_2'=\cos x), applichiamo f_1'f_2+f_1f_2':
f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x.
Esercizio. Derivare f(x)=e^x\ln x.
Con f_1=e^x (f_1'=e^x) e f_2=\ln x (f_2'=\dfrac{1}{x}):
f'(x)=e^x\ln x+e^x\cdot\dfrac{1}{x}=e^x\left(\ln x+\dfrac{1}{x}\right).
(Conviene raccogliere il fattore comune e^x per una forma più pulita.)
2. Regola del quoziente
Esercizio. Derivare f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}.
Con N=x (N'=1) e D=x^2+1 (D'=2x), applichiamo \dfrac{N'D-ND'}{D^2}:
f'(x)=\dfrac{1\cdot(x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}.
Esercizio. Derivare f(x)=\dfrac{e^x}{x}.
Con N=e^x (N'=e^x) e D=x (D'=1):
f'(x)=\dfrac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\dfrac{e^x(x-1)}{x^2}.
Esercizio. Derivare f(x)=\dfrac{\sin x}{x}.
Con N=\sin x (N'=\cos x) e D=x (D'=1):
f'(x)=\dfrac{\cos x\cdot x-\sin x\cdot 1}{x^2}=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}.
3. Prodotto di tre fattori
Per un prodotto di tre funzioni si applica la regola del prodotto in cascata: (fgh)'=f'gh+fg'h+fgh' (si deriva un fattore per volta, lasciando gli altri invariati).
Esercizio. Derivare f(x)=x\,e^x\sin x.
Con f_1=x, f_2=e^x, f_3=\sin x:
f'(x)=\underbrace{1\cdot e^x\sin x}_{f_1'f_2f_3}+\underbrace{x\,e^x\sin x}_{f_1f_2'f_3}+\underbrace{x\,e^x\cos x}_{f_1f_2f_3'}.
Raccogliendo e^x:
f'(x)=e^x\big(\sin x+x\sin x+x\cos x\big).
4. Prodotto e catena insieme
Esercizio. Derivare f(x)=(x^2+1)e^{-x}.
La struttura globale è un prodotto:
u(x)=x^2+1,\qquad v(x)=e^{-x}.
Le derivate dei due fattori sono:
u'(x)=2x,\qquad v'(x)=-e^{-x}.
La seconda derivata richiede già la regola della catena, perché l’esponente è -x e non semplicemente x.
Applicando la regola del prodotto:
f'(x)=2xe^{-x}+(x^2+1)(-e^{-x}).
Raccogliamo e^{-x}:
f'(x)=e^{-x}(2x-x^2-1).
Poiché:
2x-x^2-1=-(x^2-2x+1)=-(x-1)^2,
si ottiene:
\boxed{f'(x)=-e^{-x}(x-1)^2}.
La forma fattorizzata è particolarmente utile: e^{-x}>0 e (x-1)^2\geq 0, quindi f'(x)\leq 0 per ogni x, con annullamento solo in x=1.
5. Quoziente con semplificazione del segno
Esercizio. Derivare f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}.
Poniamo:
N(x)=x^2-1,\qquad D(x)=x^2+1.
Allora:
N'(x)=2x,\qquad D'(x)=2x.
Per la regola del quoziente:
f'(x)=\dfrac{2x(x^2+1)-(x^2-1)2x}{(x^2+1)^2}.
Semplifichiamo il numeratore raccogliendo 2x:
2x(x^2+1)-2x(x^2-1)=2x\big[(x^2+1)-(x^2-1)\big].
Il termine tra parentesi vale:
x^2+1-x^2+1=2.
Quindi:
\boxed{f'(x)=\dfrac{4x}{(x^2+1)^2}}.
Il denominatore è sempre positivo, perciò il segno della derivata dipende solo da x: la funzione decresce per x<0 e cresce per x>0.
6. Tangente a una funzione quoziente
Esercizio. Determinare la retta tangente a f(x)=\dfrac{x}{x+1} nel punto di ascissa x_0=1.
Prima controlliamo il dominio:
x+1\neq 0\quad\Rightarrow\quad x\neq -1.
Il punto x_0=1 è quindi ammesso. Calcoliamo il valore della funzione:
f(1)=\dfrac{1}{2}.
Deriviamo:
f'(x)=\dfrac{1\cdot (x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2}.
Il numeratore si riduce a:
x+1-x=1,
quindi:
f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}.
Nel punto:
f'(1)=\dfrac{1}{4}.
La tangente è:
y-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}(x-1).
In forma esplicita:
\boxed{y=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}}.
Quando si calcola una tangente a una funzione razionale servono sempre tre controlli: il punto deve appartenere al dominio, il valore f(x_0) deve esistere e la derivata f'(x_0) deve essere finita.
7. Alternativa al quoziente: trasformare in prodotto
Esercizio. Derivare f(x)=\dfrac{\sin x}{x} riscrivendola come prodotto.
Per x\neq 0:
f(x)=\sin x\cdot x^{-1}.
Usiamo il prodotto:
f'(x)=\cos x\cdot x^{-1}+\sin x\cdot(-x^{-2}).
Riscrivendo:
f'(x)=\dfrac{\cos x}{x}-\dfrac{\sin x}{x^2}.
Portando a denominatore comune:
\boxed{f'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}}.
Il risultato coincide con quello ottenuto dalla regola del quoziente. Questa via è spesso più rapida quando il denominatore è una potenza semplice di x.
Sintesi: applicare bene le due regole
- Prodotto: (fg)'=f'g+fg' — si deriva un fattore alla volta e si sommano i contributi; per tre o più fattori, un termine per ciascun fattore derivato.
- Quoziente: \displaystyle \left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2} — rispettare l’ordine (f'g prima) e il segno; denominatore al quadrato.
- Raccogliere i fattori comuni dopo aver derivato rende l’espressione più leggibile e facilita lo studio del segno (utile quando f' serve per trovare gli estremi).
- Alternativa al quoziente: a volte conviene riscrivere \displaystyle \dfrac{f}{g}=f\cdot g^{-1} e usare prodotto + catena; con la pratica si sceglie la via più rapida.
- Tangenti e domini: nelle funzioni razionali il calcolo della derivata non basta; bisogna verificare che il punto richiesto appartenga al dominio e che la derivata sia definita.
Queste regole, combinate con la regola della catena, permettono di derivare praticamente ogni funzione che compare nello studio di funzione.