La derivazione logaritmica è una tecnica che semplifica due situazioni difficili: le potenze a esponente variabile g(x)^{h(x)} (dove né la regola della potenza né quella dell’esponenziale bastano da sole) e i prodotti/quozienti molto articolati (dove la derivazione diretta sarebbe pesante). L’idea: prendere il logaritmo di entrambi i membri, derivare sfruttando che \displaystyle \big(\ln f\big)'=\dfrac{f'}{f}, poi isolare f'.
Lo schema, per f(x)>0:
\ln f=\ln f(x)\ \xrightarrow{\ \dfrac{d}{dx}\ }\ \dfrac{f'}{f}=\big(\ln f(x)\big)'\ \Longrightarrow\ f'=f(x)\cdot\big(\ln f(x)\big)'.
Il vantaggio: il logaritmo trasforma potenze in prodotti, prodotti in somme e quozienti in differenze, rendendo la derivata immediata.
1. La potenza x^x
Esercizio. Derivare f(x)=x^x (per x>0).
Prendiamo il logaritmo: \ln f=\ln(x^x)=x\ln x. Deriviamo entrambi i membri (a destra, regola del prodotto):
\dfrac{f'}{f}=1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}=\ln x+1.
Isoliamo f' moltiplicando per f=x^x:
f'(x)=x^x\,(\ln x+1).
(Né x^x=x\cdot x^{x-1} né x^x=e^x\cdot\text{cost} funzionerebbero: la base e l’esponente variano insieme, e solo il logaritmo li separa.)
2. Esponente goniometrico
Esercizio. Derivare f(x)=x^{\sin x} (per x>0).
Logaritmo: \ln f=\sin x\cdot\ln x. Derivando (prodotto a destra):
\dfrac{f'}{f}=\cos x\cdot\ln x+\sin x\cdot\dfrac{1}{x}.
Moltiplicando per f=x^{\sin x}:
f'(x)=x^{\sin x}\left(\cos x\,\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right).
3. Base polinomiale ed esponente lineare
Esercizio. Derivare f(x)=(x^2+1)^x.
Logaritmo: \ln f=x\ln(x^2+1). Derivando (prodotto, e catena su \ln(x^2+1) che dà \displaystyle \dfrac{2x}{x^2+1}):
\dfrac{f'}{f}=\ln(x^2+1)+x\cdot\dfrac{2x}{x^2+1}=\ln(x^2+1)+\dfrac{2x^2}{x^2+1}.
Quindi:
f'(x)=(x^2+1)^x\left(\ln(x^2+1)+\dfrac{2x^2}{x^2+1}\right).
4. Prodotto-quoziente complesso
La derivazione logaritmica è comoda anche quando non c’è esponente variabile, se la funzione è un prodotto/quoziente di molti fattori (con radici ed esponenziali).
Esercizio. Derivare f(x)=\dfrac{\sqrt{x}\,e^x}{(x+1)^2} (per x>0).
Prendiamo il logaritmo e usiamo le sue proprietà per spezzare tutto in somma:
\ln f=\dfrac{1}{2}\ln x+x-2\ln(x+1).
Ora la derivata è una semplice somma di termini:
\dfrac{f'}{f}=\dfrac{1}{2x}+1-\dfrac{2}{x+1}.
Moltiplicando per f:
f'(x)=\dfrac{\sqrt{x}\,e^x}{(x+1)^2}\left(\dfrac{1}{2x}+1-\dfrac{2}{x+1}\right).
Derivare direttamente, con prodotto e quoziente annidati, avrebbe richiesto molti più passaggi: il logaritmo «appiattisce» la struttura.
5. Potenza con base trigonometrica
Esercizio. Derivare f(x)=(\sin x)^x negli intervalli in cui \sin x>0.
La condizione \sin x>0 è necessaria per usare direttamente il logaritmo reale della base. In ciascun intervallo del tipo:
2k\pi<x<(2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
possiamo scrivere:
\ln f=x\ln(\sin x).
Deriviamo:
\dfrac{f'}{f}=1\cdot\ln(\sin x)+x\cdot\dfrac{\cos x}{\sin x}.
Quindi:
\dfrac{f'}{f}=\ln(\sin x)+x\cot x.
Moltiplicando per f=(\sin x)^x:
\boxed{f'(x)=(\sin x)^x\big(\ln(\sin x)+x\cot x\big)}.
Questo esercizio mostra perché il dominio non è un dettaglio secondario: la formula è corretta solo dove la funzione è trattata come potenza reale con base positiva.
6. Base polinomiale con esponente reciproco
Esercizio. Derivare:
f(x)=(x^2-1)^{1/x}.
Per usare il logaritmo reale richiediamo:
x^2-1>0\quad\text{e}\quad x\neq 0.
La prima condizione dà:
x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1,
che già esclude x=0. Il dominio considerato è quindi:
D=(-\infty,-1)\cup(1,+\infty).
Prendiamo il logaritmo:
\ln f=\dfrac{1}{x}\ln(x^2-1).
Deriviamo il prodotto \dfrac{1}{x}\cdot\ln(x^2-1):
Semplificando il secondo termine:
Quindi:
per x\in D.
7. Prodotto di potenze: elasticità logaritmica
Esercizio. Derivare:
f(x)=x^3(1+x)^5(2+x^2)^2,
per x>0.
Il prodotto contiene tre fattori; la derivazione diretta è possibile, ma la derivazione logaritmica evita un’espansione inutile. Prendiamo il logaritmo:
\ln f=3\ln x+5\ln(1+x)+2\ln(2+x^2).
Derivando:
Quindi:
Moltiplichiamo per f:
La quantità \dfrac{f'}{f} è detta spesso derivata logaritmica o elasticità locale della funzione: misura la variazione relativa istantanea di f.
8. Uso di \ln\lvert f\rvert
Esercizio. Derivare f(x)=\dfrac{x-1}{x+2} usando il logaritmo del valore assoluto.
La funzione può assumere valori negativi, quindi non è corretto scrivere \ln f su tutto il dominio. Si usa invece:
\ln\lvert f\rvert=\ln\lvert x-1\rvert-\ln\lvert x+2\rvert,
con:
x\neq 1,\qquad x\neq -2.
Derivando:
Mettiamo a denominatore comune:
Moltiplichiamo per f=\dfrac{x-1}{x+2}:
Risultato:
\boxed{f'(x)=\dfrac{3}{(x+2)^2}},\qquad x\neq -2.
Il punto x=1 era escluso nel passaggio con \ln\lvert f\rvert perché lì f=0, ma la derivata finale esiste anche in x=1. Questo è un buon promemoria: la derivazione logaritmica può richiedere esclusioni temporanee che poi vanno interpretate rispetto alla funzione originale.
Sintesi: quando e come usarla
- Obbligatoria per le potenze a esponente variabile g(x)^{h(x)}: prendere \ln, derivare, isolare f' moltiplicando per f. (In alternativa si riscrive g^h=e^{h\ln g} e si deriva con la catena — è lo stesso calcolo.)
- Conveniente per prodotti/quozienti/radici di molti fattori: \ln li trasforma in somme e differenze, derivabili termine per termine.
- Passo finale sempre uguale: da \displaystyle \dfrac{f'}{f}=(\ldots) si ricava f'=f\cdot(\ldots), ricordando di rimoltiplicare per f (errore tipico: fermarsi a \displaystyle \dfrac{f'}{f}).
- Condizioni: il logaritmo richiede f>0; quando la base può essere negativa, si lavora con \ln\lvert f\rvert o si riscrive in base e.
- Dominio da dichiarare: potenze come (\sin x)^x o (x^2-1)^{1/x} hanno intervalli di validità precisi nel calcolo reale.
- Esclusioni temporanee: con \ln\lvert f\rvert si escludono gli zeri di f durante il calcolo, poi si controlla se la formula derivata si estende anche a quei punti.
Questa tecnica è ciò che permette di studiare le funzioni come x^x e \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x nello studio delle potenze a esponente variabile.