La regola della catena è la regola più usata del calcolo differenziale: serve ogni volta che una funzione è composta, cioè «una dentro l’altra». Se y=f(g(x)), allora
\dfrac{d}{dx}f\big(g(x)\big)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
In parole: si deriva la funzione esterna lasciando dentro l’argomento, poi si moltiplica per la derivata della funzione interna. L’errore tipico è dimenticare questo secondo fattore g'(x).
Conviene riconoscere la struttura «esterna ∘ interna» prima di derivare. Per le composizioni più comuni:
\big(g(x)^n\big)'=n\,g(x)^{n-1}g'(x),\quad \big(e^{g(x)}\big)'=e^{g(x)}g'(x),\quad \big(\ln g(x)\big)'=\dfrac{g'(x)}{g(x)},
\big(\sin g(x)\big)'=\cos g(x)\cdot g'(x),\quad \big(\sqrt{g(x)}\big)'=\dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}.
1. Composizione con il seno
Esercizio. Derivare f(x)=\sin(x^2).
Esterna \sin(\cdot), interna x^2. Si deriva l’esterna (\cos dell’argomento) per la derivata dell’interna (2x):
f'(x)=\cos(x^2)\cdot 2x=2x\cos(x^2).
2. Composizione con l’esponenziale
Esercizio. Derivare f(x)=e^{\sqrt{x}}.
Esterna e^{(\cdot)}, interna \sqrt x=x^{1/2} (con derivata \displaystyle \dfrac{1}{2\sqrt x}):
f'(x)=e^{\sqrt x}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt x}=\dfrac{e^{\sqrt x}}{2\sqrt x}.
Questa derivata è definita per x>0: la funzione e^{\sqrt{x}} è definita anche in x=0, ma la derivata della radice introduce il fattore \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, che non è finito in zero.
3. Composizione con il logaritmo
Esercizio. Derivare f(x)=\ln(\cos x).
Esterna \ln(\cdot), interna \cos x (con derivata -\sin x). Usando \displaystyle \big(\ln g\big)'=\dfrac{g'}{g}:
f'(x)=\dfrac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x.
4. Radice di una funzione
Esercizio. Derivare f(x)=\sqrt{1+x^2}.
Esterna \sqrt{\cdot}, interna 1+x^2 (con derivata 2x). Usando \displaystyle \big(\sqrt g\big)'=\dfrac{g'}{2\sqrt g}:
f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}.
5. Potenza di un binomio
Esercizio. Derivare f(x)=(2x+1)^5.
Esterna (\cdot)^5, interna 2x+1 (con derivata 2). Usando \big(g^n\big)'=n\,g^{n-1}g':
f'(x)=5(2x+1)^4\cdot 2=10(2x+1)^4.
6. Composizione annidata (catena multipla)
Quando ci sono tre funzioni annidate, la regola si applica ripetutamente, dall’esterno verso l’interno.
Esercizio. Derivare f(x)=\sin\!\big(e^{2x}\big).
Tre livelli: \sin(\cdot) esterna, e^{(\cdot)} intermedia, 2x interna. Si deriva «a strati»:
7. Catena e dominio
Esercizio. Derivare f(x)=\ln(x^2-1) specificando il dominio.
Il logaritmo è definito quando il suo argomento è positivo:
x^2-1>0.
Fattorizzando:
x^2-1=(x-1)(x+1),
si ottiene:
x<-1\qquad\text{oppure}\qquad x>1.
Il dominio è:
D=(-\infty,-1)\cup(1,+\infty).
Ora applichiamo la regola:
\big(\ln g(x)\big)'=\dfrac{g'(x)}{g(x)}.
Con:
g(x)=x^2-1,\qquad g'(x)=2x,
si ha:
\boxed{f'(x)=\dfrac{2x}{x^2-1}},\qquad x\in D.
Errore comune: scrivere una formula di derivata valida algebricamente ma dimenticare che la funzione iniziale non è definita tra -1 e 1.
8. Potenza con funzione interna non lineare
Esercizio. Derivare f(x)=(1+x^2)^{-3}.
Poniamo:
g(x)=1+x^2.
Allora:
f(x)=g(x)^{-3}.
La derivata esterna è:
-3g(x)^{-4},
mentre la derivata interna è:
g'(x)=2x.
Per la regola della catena:
f'(x)=-3(1+x^2)^{-4}\cdot 2x.
Quindi:
\boxed{f'(x)=-6x(1+x^2)^{-4}}.
In forma frazionaria:
\boxed{f'(x)=-\dfrac{6x}{(1+x^2)^4}}.
La forma con esponente negativo è più rapida per derivare; la forma frazionaria è spesso più adatta per leggere segno, limiti e comportamento asintotico.
9. Catena più prodotto
Esercizio. Derivare f(x)=x\sin(x^2).
La struttura globale è un prodotto:
u(x)=x,\qquad v(x)=\sin(x^2).
La derivata del primo fattore è:
u'(x)=1.
Per il secondo fattore serve la catena:
v'(x)=\cos(x^2)\cdot 2x.
Applicando la regola del prodotto:
f'(x)=1\cdot\sin(x^2)+x\cdot 2x\cos(x^2).
Risultato:
\boxed{f'(x)=\sin(x^2)+2x^2\cos(x^2)}.
Prima si riconosce la struttura globale dell’espressione, poi si entra nei singoli fattori. Qui la struttura globale è un prodotto, non una composizione pura.
10. Derivata seconda con catena
Esercizio. Calcolare derivata prima e derivata seconda di f(x)=e^{-x^2}.
Per la derivata prima poniamo:
g(x)=-x^2,
quindi:
g'(x)=-2x.
La regola della catena dà:
f'(x)=e^{-x^2}(-2x)=-2xe^{-x^2}.
Per la derivata seconda bisogna derivare il prodotto:
f''(x)=(-2)e^{-x^2}+(-2x)\left(-2xe^{-x^2}\right).
Il secondo termine deriva ancora dalla catena applicata a e^{-x^2}. Semplificando:
f''(x)=-2e^{-x^2}+4x^2e^{-x^2}.
Raccogliendo:
\boxed{f''(x)=(4x^2-2)e^{-x^2}}.
Questo esercizio mostra perché prodotto e catena non vanno studiati come regole separate: nelle derivate seconde compaiono quasi sempre insieme.
Sintesi: pensare «a strati»
- Identificare esterna e interna prima di derivare: chiedersi «qual è l’ultima operazione che farei calcolando f in un numero?» — quella è la funzione esterna.
- Derivare dall’esterno verso l’interno, moltiplicando i contributi: f'(g)\cdot g', e per più livelli f'(g(h))\cdot g'(h)\cdot h'.
- Non dimenticare mai il fattore interno g'(x): è l’errore più comune. \big(\sin(x^2)\big)' è 2x\cos(x^2), non \cos(x^2).
- Casi speciali memorizzabili: \displaystyle \big(\ln g\big)'=\dfrac{g'}{g} e \big(e^g\big)'=e^g g' tornano continuamente.
- Dominio prima del risultato: logaritmi, radici e denominatori possono restringere il dominio della funzione o della derivata.
- Regole combinate: nelle funzioni reali prodotto, quoziente e catena si sovrappongono; la struttura globale decide da quale regola partire.
Con linearità, prodotto/quoziente e catena si deriva qualunque funzione elementare. Per le potenze a esponente variabile (tipo x^x) e i prodotti molto complessi serve invece la derivazione logaritmica.