Le derivate di ordine superiore si ottengono derivando ripetutamente una funzione. La derivata n-esima di f si indica f^{(n)}(x) o \frac{d^n f}{dx^n}.
Definizione Ricorsiva
f^{(0)}(x) = f(x), \qquad f^{(n)}(x) = \left(f^{(n-1)}\right)'(x)
Una funzione si dice di classe C^n se la sua derivata n-esima esiste ed è continua.
Derivata Seconda e Concavità
La derivata seconda f''(x) misura la variazione della derivata prima, ovvero la curvatura del grafico:
- f''(x) > 0: funzione convessa (concava verso l’alto) in x
- f''(x) < 0: funzione concava (concava verso il basso) in x
- f''(x_0) = 0: possibile punto di flesso in x_0
Derivata Seconda e Minimi/Massimi
Nei punti stazionari (f'(x_0) = 0):
- Se f''(x_0) > 0: minimo locale
- Se f''(x_0) < 0: massimo locale
- Se f''(x_0) = 0: test inconcludente (serve analisi di ordine superiore)
Interpretazione Fisica
In meccanica, se s(t) è la posizione:
- s'(t) = velocità
- s''(t) = accelerazione
- s'''(t) = jerk (variazione dell’accelerazione)
Formula di Leibniz per la Derivata del Prodotto
(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}