Derivate di Ordine Superiore

Le derivate di ordine superiore si ottengono derivando ripetutamente una funzione. La derivata $n$-esima di $f$ si indica $f^{(n)}(x)$ o $\frac{d^n f}{dx^n}$.

Definizione Ricorsiva

$f^{(0)}(x) = f(x), \qquad f^{(n)}(x) = \left(f^{(n-1)}\right)'(x)$

Una funzione si dice di classe $C^n$ se la sua derivata $n$-esima esiste ed è continua.

Derivata Seconda e Concavità

La derivata seconda $f''(x)$ misura la variazione della derivata prima, ovvero la curvatura del grafico:

• $f''(x) > 0$: funzione convessa (concava verso l’alto) in $x$
• $f''(x) < 0$: funzione concava (concava verso il basso) in $x$
• $f''(x_0) = 0$: possibile punto di flesso in $x_0$

Derivata Seconda e Minimi/Massimi

Nei punti stazionari ($f'(x_0) = 0$):

• Se $f''(x_0) > 0$: minimo locale
• Se $f''(x_0) < 0$: massimo locale
• Se $f''(x_0) = 0$: test inconcludente (serve analisi di ordine superiore)

Interpretazione Fisica

In meccanica, se $s(t)$ è la posizione:

• $s'(t)$ = velocità
• $s''(t)$ = accelerazione
• $s'''(t)$ = jerk (variazione dell’accelerazione)

Formula di Leibniz per la Derivata del Prodotto

$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}$