Curve di Bézier

Voci di Glossario Geometria
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    Le curve di Bézier sono curve parametriche polinomiali definite da un insieme di punti di controllo. Introdotte da Pierre Bézier negli anni ‘60 per la progettazione di carrozzerie automobilistiche (Renault), sono oggi il fondamento della grafica vettoriale, del CAD e della tipografia digitale.

    Vedi anche: Terna di Frenet, Superficie Parametrica.

    Definizione

    Una curva di Bézier di grado nn è definita da n+1n+1 punti di controllo P0,P1,…,Pn∈RdP_0, P_1, \ldots, P_n \in \mathbb{R}^d tramite i polinomi di Bernstein:

    B(t)=∑k=0n(nk)(1−t)n−ktk Pk,t∈[0,1]\mathbf{B}(t) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (1-t)^{n-k} t^k\, P_k, \quad t \in [0,1]

    I polinomi bk,n(t)=(nk)(1−t)n−ktkb_{k,n}(t) = \binom{n}{k}(1-t)^{n-k}t^k sono la base di Bernstein di grado nn: formano una partizione dell’unità (∑kbk,n(t)=1\sum_k b_{k,n}(t) = 1) e sono tutti non negativi per t∈[0,1]t \in [0,1].

    Casi Notevoli

    Grado 1 (lineare): segmento B(t)=(1−t)P0+tP1\mathbf{B}(t) = (1-t)P_0 + tP_1.

    Grado 2 (quadratica): B(t)=(1−t)2P0+2(1−t)tP1+t2P2\mathbf{B}(t) = (1-t)^2 P_0 + 2(1-t)t P_1 + t^2 P_2. Usata per le lettere nei font TrueType.

    Grado 3 (cubica): B(t)=(1−t)3P0+3(1−t)2tP1+3(1−t)t2P2+t3P3\mathbf{B}(t) = (1-t)^3 P_0 + 3(1-t)^2 t P_1 + 3(1-t)t^2 P_2 + t^3 P_3. Forma standard in PostScript, SVG, PDF, CSS e nei software CAD.

    Proprietà Geometriche

    • Interpolazione agli estremi: B(0)=P0\mathbf{B}(0) = P_0 e B(1)=Pn\mathbf{B}(1) = P_n.
    • Tangente agli estremi: B′(0)=n(P1−P0)\mathbf{B}'(0) = n(P_1 - P_0) e B′(1)=n(Pn−Pn−1)\mathbf{B}'(1) = n(P_n - P_{n-1}).
    • Involucro convesso: la curva è interamente contenuta nell’involucro convesso dei punti di controllo.
    • Invarianza affine: le trasformazioni affini sui punti di controllo producono la trasformazione affine della curva. Vedi: Affinità.
    • Variazione decrescente: la curva non oscilla più di quanto non faccia il poligono di controllo.

    Algoritmo di De Casteljau

    L’algoritmo di De Casteljau calcola un punto sulla curva tramite interpolazioni lineari ripetute, senza usare esplicitamente i polinomi di Bernstein. Per n=3n = 3:

    Pi[r]=(1−t)Pi[r−1]+tPi+1[r−1]P_i^{[r]} = (1-t)P_i^{[r-1]} + t P_{i+1}^{[r-1]}

    con Pi[0]=PiP_i^{[0]} = P_i. Il punto finale P0[n]P_0^{[n]} è B(t)\mathbf{B}(t). L’algoritmo è numericamente stabile e permette anche di suddividere la curva in due sotto-curve di Bézier.

    Curve B-spline e NURBS

    Per modellare forme complesse si usano spline di Bézier raccordate (con continuità C1C^1 o C2C^2) o le più generali B-spline e NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines), standard industriale nel CAD (IGES, STEP).

    Applicazioni ingegneristiche

    • CAD/CAM: la modellazione di superfici free-form (carrozzerie, profili alari, lenti) usa patch di Bézier bicubici o superfici NURBS.
    • Grafica vettoriale e tipografia: ogni carattere in un font OpenType/PostScript è definito da curve di Bézier cubiche; i percorsi SVG usano comandi C (cubica) e Q (quadratica).
    • Animazione: le curve di Bézier definiscono le curve di velocità e le traiettorie nelle timeline dei software di animazione (keyframing).
    • Robotica: le traiettorie dei robot industriali sono interpolate con spline di Bézier per garantire continuità di posizione, velocità e accelerazione.

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