Sia \mathbf{r}(u, v) una parametrizzazione regolare di una superficie S \subset \mathbb{R}^3. La curvatura di S viene misurata localmente in ogni punto dall’operatore di Weingarten (o mappa di forma) \mathcal{L}, che descrive come varia il versore normale \hat{\mathbf{n}} al variare della direzione tangente.
Curvature principali e direzioni principali
Le curvature principali k_1 e k_2 in un punto P \in S sono gli autovalori dell’operatore di forma \mathcal{L}. Geometricamente, k_1 e k_2 sono i valori massimo e minimo della curvatura normale al variare delle direzioni tangenti in P.
Le direzioni principali corrispondenti \vec{e}_1 e \vec{e}_2 sono gli autovettori di \mathcal{L} e risultano ortogonali (tranne nei punti ombelicali). In termini delle forme fondamentali:
\mathcal{L} = I^{-1}II
dove I è la matrice della prima forma fondamentale e II quella della seconda. Le curvature principali sono le soluzioni di \det(II - k\, I) = 0.
Curvatura gaussiana e curvatura media
La curvatura gaussiana (o curvatura di Gauss) è il prodotto delle curvature principali:
K = k_1 k_2 = \frac{\det(II)}{\det(I)}
La curvatura media è la loro media:
H = \frac{k_1 + k_2}{2} = \frac{1}{2}\,\mathrm{tr}(I^{-1}II)
Questi due scalari sono invarianti per cambiamenti di parametrizzazione (con la differenza che K è anche invariante per isometrie locali, mentre H non lo è).
Classificazione dei punti di una superficie
Il segno di K classifica i punti della superficie:
| Tipo di punto | Condizione | Geometria locale |
|---|---|---|
| Ellittico | K > 0 | superficie curva come una cupola, da un lato del piano tangente |
| Iperbolico | K < 0 | superficie a sella, da entrambi i lati del piano tangente |
| Parabolico | K = 0, H \neq 0 | almeno una curvatura nulla (es. cilindro, cono) |
| Planare | K = 0, H = 0 | entrambe le curvature nulle (es. piano) |
| Ombelicale | k_1 = k_2 | tutte le direzioni tangenti sono principali (es. sfera) |
Nei punti iperbolici, la seconda forma fondamentale è indefinita e determina due direzioni asintotiche reali. Nei punti ellittici, la seconda forma fondamentale è definita (positiva o negativa) e non vi sono direzioni asintotiche reali. Nei punti parabolici, esiste esattamente una direzione asintotica reale.
Linee asintotiche
Una direzione asintotica in un punto P è una direzione tangente \vec{t} per cui la curvatura normale è nulla: II(\vec{t}, \vec{t}) = 0. Esse esistono (reali) solo nei punti iperbolici o parabolici.
Le linee asintotiche sono le curve sulla superficie le cui direzioni tangenti sono asintotiche in ogni punto. Soddisfano l’equazione differenziale:
L\,(du)^2 + 2M\, du\, dv + N\,(dv)^2 = 0
dove L, M, N sono i coefficienti della seconda forma fondamentale. Sulle superfici rigate, le generatrici rette sono linee asintotiche.
Linee di curvatura
Le linee di curvatura sono le curve sulla superficie la cui direzione tangente è in ogni punto una direzione principale. Soddisfano:
(EM - FL)\,(du)^2 + (EN - GL)\, du\, dv + (FN - GM)\,(dv)^2 = 0
dove E, F, G sono i coefficienti della prima forma fondamentale e L, M, N quelli della seconda. Su una sfera, tutte le curve geodetiche sono linee di curvatura; su un toro, i meridiani e i paralleli lo sono.
Le linee di curvatura sono particolarmente importanti nella lavorazione CNC e nel calcolo delle tensioni nelle membrane.
Theorema Egregium di Gauss
Il Theorema Egregium (“teorema straordinario”) di Gauss afferma che la curvatura gaussiana K è un invariante intrinseco della superficie, cioè dipende solo dalla prima forma fondamentale (la metrica indotta) e non dall’immersione in \mathbb{R}^3.
Conseguenza immediata: la curvatura gaussiana si conserva per isometrie locali (deformazioni che non stirano né comprimono la superficie). Quindi:
- Non è possibile mappare senza distorsione un pezzo di sfera su un piano (perché K_{\text{sfera}} = 1/R^2 \neq 0 = K_{\text{piano}}) — questo è il fondamento matematico dell’impossibilità delle mappe geografiche prive di distorsione.
- Un foglio di carta (piano, K = 0) può essere piegato in un cilindro o in un cono (anch’essi con K = 0) senza deformazioni, ma non in un pezzo di sfera.
La formula di Gauss esprime K in termini dei coefficienti E, F, G e delle loro derivate (formula di Brioschi), confermando l’intrinsecità.
Applicazioni ingegneristiche
- Strutture a guscio: la curvatura gaussiana determina la rigidità strutturale; i gusci con K > 0 (cupole ellittiche) resistono ai carichi distribuiti meglio di quelli con K < 0 (selle iperboliche), usati invece per la copertura di grandi luci.
- Produzione e lavorazione: nella lavorazione a macchine CNC, il raggio di curvatura principale minimo determina il diametro massimo della fresa per evitare interferenze.
- Cartografia: il Theorema Egregium spiega perché ogni proiezione cartografica introduce necessariamente distorsioni di forma o di area.
- Biomeccanica: la curvatura delle ossa articolari (testa del femore, cavità acetabolare) è analizzata con le curvature principali per lo studio del contatto e dell’usura nelle protesi.