Il criterio di Leibniz fornisce una condizione sufficiente affinché una serie a termini di segno alterno sia convergente.
Enunciato
Data la serie \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n, con a_n \geq 0, se:
- La successione a_n è monotona decrescente: a_{n+1} \leq a_n.
- La successione a_n è infinitesima: \lim_{n \to \infty} a_n = 0.
Allora la serie è convergente.
Stima dell’Errore
Un vantaggio fondamentale del criterio di Leibniz è che permette di stimare l’errore commesso troncando la serie alla somma parziale S_k: |R_k| = |S - S_k| \leq a_{k+1} L’errore è cioè inferiore, in valore assoluto, al primo termine trascurato.
Significato Ingegneristico
- Approssimazioni Numeriche: Molte funzioni trascendenti (es. \sin x, \cos x) sono calcolate tramite serie di Taylor a segni alterni. Il criterio di Leibniz garantisce non solo la convergenza, ma fornisce una stima immediata della precisione del calcolo computerizzato.
- Analisi dei Segnali: Nello sviluppo in serie di Fourier di segnali periodici (es. onda quadra), i coefficienti presentano spesso segni alterni. Il criterio assicura che il segnale ricostruito converga al segnale originale.
- Filtri Digitali: Utilizzato per verificare la stabilità di filtri a risposta impulsiva finita (FIR) o infinita (IIR) i cui coefficienti oscillano attorno allo zero.
- Calcolo Strutturale: Molti metodi iterativi per la risoluzione di problemi non lineari generano successioni di correzioni a segno alterno; il criterio permette di stabilire quando interrompere l’iterazione avendo raggiunto la tolleranza desiderata.