Il criterio di Cauchy permette di stabilire se una successione converge senza dover conoscere preventivamente il valore del suo limite. Una successione che soddisfa questo criterio è detta successione di Cauchy.
Enunciato
Una successione a_n converge se e solo se per ogni \epsilon > 0 esiste un indice N tale che per ogni n, m > N: |a_n - a_m| < \epsilon In parole povere, i termini della successione devono diventare arbitrariamente vicini tra loro man mano che l’indice aumenta.
Completezza
L’equivalenza tra “essere di Cauchy” e “convergere” è la definizione stessa di completezza di uno spazio metrico. L’insieme dei numeri reali \mathbb{R} è completo, mentre quello dei razionali \mathbb{Q} non lo è.
Significato Ingegneristico
- Algoritmi Iterativi: È lo strumento teorico per definire i criteri di arresto nei calcoli numerici. Un software di simulazione (FEM, CFD) smette di iterare quando la differenza tra due passi successivi è inferiore a una tolleranza impostata.
- Analisi Funzionale: Essenziale per definire gli spazi di Hilbert e di Banach, che sono i contenitori matematici per segnali ad energia finita e soluzioni di equazioni differenziali.
- Stabilità Numerica: Fornisce una base rigorosa per assicurarsi che i processi di approssimazione portino effettivamente a un risultato definito e stabile.