I criteri di convergenza sono teoremi che permettono di stabilire se una serie numerica converge, diverge o è irregolare senza doverne calcolare esplicitamente la somma.
Criteri per serie a termini positivi
- Criterio del Confronto: se a_n \le b_n, la convergenza di \sum b_n implica quella di \sum a_n.
- Criterio del Rapporto: se \lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = L:
- L < 1 \Rightarrow converge.
- L > 1 \Rightarrow diverge.
- Criterio della Radice: se \lim \sqrt[n]{a_n} = L:
- L < 1 \Rightarrow converge.
- L > 1 \Rightarrow diverge.
Serie a termini di segno alterno
Criterio di Leibniz: la serie \sum (-1)^n a_n converge se la successione a_n è decrescente e tende a zero.
Convergenza Assoluta
Una serie converge assolutamente se converge la serie dei suoi valori assoluti. La convergenza assoluta implica sempre quella semplice.