Le coordinate sferiche identificano un punto nello spazio tramite la sua distanza dall’origine e due angoli di orientamento. È il sistema naturale per lo studio di fenomeni che si propagano da un punto centrale.
Definizione
Un punto P è identificato dalla terna (r, \theta, \phi):
- r: distanza dall’origine (r \geq 0).
- \theta: angolo di colatitudine (zenit), formato con l’asse z (0 \leq \theta \leq \pi).
- \phi: angolo di longitudine (azimut), formato nel piano xy (0 \leq \phi < 2\pi).
Trasformazioni
- Da sferiche a cartesiane: x = r \sin \theta \cos \phi y = r \sin \theta \sin \phi z = r \cos \theta
- Jacobiano: L’elemento di volume è dV = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi.
Significato Ingegneristico
- Antenne: Rappresentazione del diagramma di radiazione di un’antenna nello spazio.
- Geolocalizzazione: Il sistema di latitudine e longitudine terrestre è una variante delle coordinate sferiche (riferita alla superficie di una sfera o ellissoide).
- Fisica Matematica: Risoluzione dell’equazione di Schrödinger per l’atomo di idrogeno o del potenziale gravitazionale di una stella.
- Robotica: Controllo di bracci robotici con giunti sferici.