Coordinate Sferiche — ingegnerismo.it

Le coordinate sferiche identificano un punto nello spazio tramite la sua distanza dall’origine e due angoli di orientamento. È il sistema naturale per lo studio di fenomeni che si propagano da un punto centrale.

Definizione

Un punto $P$ è identificato dalla terna $(r, \theta, \phi)$ :

$r$ : distanza dall’origine ( $r \geq 0$ ).
$\theta$ : angolo di colatitudine (zenit), formato con l’asse $z$ ( $0 \leq \theta \leq \pi$ ).
$\phi$ : angolo di longitudine (azimut), formato nel piano $xy$ ( $0 \leq \phi < 2\pi$ ).

Trasformazioni

Da sferiche a cartesiane: $x = r \sin \theta \cos \phi$ $y = r \sin \theta \sin \phi$ $z = r \cos \theta$
Jacobiano: L’elemento di volume è $dV = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi$ .

Significato Ingegneristico

Antenne: Rappresentazione del diagramma di radiazione di un’antenna nello spazio.
Geolocalizzazione: Il sistema di latitudine e longitudine terrestre è una variante delle coordinate sferiche (riferita alla superficie di una sfera o ellissoide).
Fisica Matematica: Risoluzione dell’equazione di Schrödinger per l’atomo di idrogeno o del potenziale gravitazionale di una stella.
Robotica: Controllo di bracci robotici con giunti sferici.