Coordinate Polari

Le coordinate polari sono un sistema di coordinate bidimensionale in cui ogni punto del piano è identificato da una distanza da un punto fisso (polo) e da un angolo rispetto a una direzione fissa (asse polare).

Definizione

Un punto $P$ è identificato dalla coppia $(\rho, \theta)$:

• $\rho$ (raggio): la distanza del punto dall’origine ($0 \leq \rho < \infty$).
• $\theta$ (anomalia o angolo): l’angolo formato con l’asse delle ascisse positive ($0 \leq \theta < 2\pi$).

Trasformazioni da/a Coordinate Cartesiane

• Da polari a cartesiane: $x = \rho \cos \theta$ $y = \rho \sin \theta$
• Da cartesiane a polari: $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$ $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ (con opportuni aggiustamenti di quadrante).

Significato Ingegneristico

L’uso delle coordinate polari semplifica enormemente i calcoli in presenza di simmetrie rotazionali.

• Integrali Multipli: Il calcolo di aree o volumi di domini circolari è molto più semplice in coordinate polari (dove lo Jacobiano è $\rho$).
• Campi Elettromagnetici: La propagazione di onde da un’antenna omnidirezionale è descritta naturalmente in coordinate polari.
• Robotica: Molti bracci robotici utilizzano sistemi di coordinate polari (o cilindriche) per definire la posizione dell’end-effector.