Una successione di funzioni (f_n) può convergere verso una funzione limite f in modi qualitativamente diversi. La distinzione tra convergenza puntuale e uniforme è cruciale per preservare le proprietà analitiche al passaggio al limite.
Convergenza Puntuale
(f_n) converge puntualmente a f su A se per ogni x \in A: \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) La velocità di convergenza può dipendere da x.
Convergenza Uniforme
(f_n) converge uniformemente a f su A se: \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in A} |f_n(x) - f(x)| = 0 La velocità di convergenza è la stessa per tutti gli x \in A simultaneamente.
Teoremi di Passaggio al Limite
La convergenza uniforme preserva le proprietà regolari:
- Continuità: se ogni f_n è continua e f_n \rightrightarrows f, allora f è continua.
- Integrazione: \int_a^b f_n \to \int_a^b f (si può scambiare limite e integrale).
- Derivazione: se f_n' \rightrightarrows g uniformemente e f_n \to f puntualmente, allora f' = g.
La sola convergenza puntuale non garantisce questi scambi.
Convergenza Totale di Serie di Funzioni
Una serie \sum_n f_n converge totalmente su A se \sum_n \|f_n\|_\infty < +\infty (criterio di Weierstrass). La convergenza totale implica quella uniforme.
Criterio di Weierstrass
Se esiste una successione M_n \geq 0 con \sum M_n < +\infty e |f_n(x)| \leq M_n per ogni x \in A, allora \sum f_n converge totalmente (e quindi uniformemente) su A.