Una serie \sum a_n converge in modi qualitativamente diversi a seconda che la convergenza persista o meno prendendo i valori assoluti dei termini.
Convergenza Assoluta
La serie \sum a_n converge assolutamente se converge la serie dei valori assoluti: \sum_{n=1}^\infty |a_n| < +\infty
La convergenza assoluta implica la convergenza semplice, ma non viceversa.
Convergenza Semplice (o Condizionata)
La serie converge semplicemente (o condizionatamente) se \sum a_n converge ma \sum |a_n| = +\infty.
Esempio classico: la serie armonica a segni alterni \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} converge a \ln 2 per il criterio di Leibniz, ma \sum \frac{1}{n} diverge.
Teorema di Riemann sul Riordinamento
Se una serie converge condizionatamente (non assolutamente), allora per ogni S \in \mathbb{R} (o \pm\infty) esiste un riordinamento dei termini che fa convergere la serie a S.
Questo risultato evidenzia la fragilità della convergenza condizionata: la somma dipende dall’ordine dei termini.
Stabilità della Convergenza Assoluta
Al contrario, le serie assolutamente convergenti sono stabili sotto riordinamento: qualsiasi permutazione dei termini lascia invariata la somma. Questo è il motivo per cui nei calcoli pratici si privilegia la convergenza assoluta.