Controllo statistico di processo (SPC) e capacità: esercizi svolti

Il controllo statistico di processo (SPC) monitora la qualità di una produzione distinguendo la variabilità naturale (accettabile) da quella anomala (da correggere). Gli strumenti sono le carte di controllo e gli indici di capacità ( $C_p$ , $C_{pk}$ ). Questa scheda allena la costruzione delle carte e il calcolo della capacità.

1. Limiti di controllo a tre sigma

Esercizio. Un processo produce pezzi con media $\mu=50\ \text{mm}$ e deviazione standard $\sigma=0{,}5\ \text{mm}$ . Calcolare i limiti di controllo a $3\sigma$ per la media.

I limiti di controllo standard sono a $\pm3\sigma$ dalla media:

$LCS=\mu+3\sigma=50+1{,}5=51{,}5,\qquad LCI=\mu-3\sigma=50-1{,}5=48{,}5.$

I limiti a $3\sigma$ contengono il $99{,}73\%$ dei valori se il processo è in controllo: punti fuori sono quasi certamente anomalie, non caso.

2. Limiti per la media campionaria

Esercizio. Si campionano gruppi di $n=4$ pezzi. Calcolare i limiti di controllo della carta delle medie ( $\bar X$ ).

La media campionaria ha deviazione $\sigma/\sqrt n$ :

$LC=\mu\pm3\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=50\pm3\times\dfrac{0{,}5}{\sqrt4}=50\pm3\times0{,}25=50\pm0{,}75.$

Limiti: $[49{,}25,\ 50{,}75]$ . La carta delle medie ha limiti più stretti della carta dei singoli valori, perché mediare riduce la dispersione di $\sqrt n$ .

3. Punto fuori controllo

Esercizio. Un campione dà media $\bar x=50{,}9\ \text{mm}$ con i limiti del punto 2 ( $[49{,}25,\ 50{,}75]$ ). Cosa indica?

$50{,}9>50{,}75=LCS.$

Il punto è fuori controllo superiore: segnala una causa speciale (deriva dell’utensile, materiale diverso, ecc.), non variabilità casuale. Il processo va fermato e indagato. Un solo punto oltre i limiti $3\sigma$ è già un allarme.

Carta di controllo della media campionaria. Linea centrale LC = 50 (verde), limiti di controllo LCS = 50,75 e LCI = 49,25 (rossi tratteggiati). I primi otto campioni oscillano entro i limiti (variabilità naturale); il nono campione (50,9) supera il LCS: punto fuori controllo, segnale di una causa speciale da indagare.

4. Regole di fuori controllo

Esercizio. Oltre al singolo punto fuori limiti, quali pattern segnalano un processo fuori controllo?

Le regole di Western Electric segnalano anomalie anche dentro i limiti:

un punto oltre $3\sigma$ ;
2 punti su 3 consecutivi oltre $2\sigma$ dallo stesso lato;
8 punti consecutivi dallo stesso lato della media (trend);
andamenti crescenti/decrescenti sistematici.

Questi pattern rivelano derive o cicli che il singolo limite non coglie: il processo può essere “in deriva” pur senza punti oltre $3\sigma$ .

5. Indice di capacità Cp

Esercizio. Le tolleranze di specifica sono $[48,\ 52]$ mm e il processo ha $\sigma=0{,}5\ \text{mm}$ . Calcolare l’indice $C_p$ .

Il $C_p$ confronta l’ampiezza delle specifiche con la dispersione naturale ( $6\sigma$ ):

$C_p=\dfrac{LSS-LSI}{6\sigma}=\dfrac{52-48}{6\times0{,}5}=\dfrac{4}{3}=1{,}33.$

$C_p=1{,}33$ è il valore minimo tipicamente richiesto: il processo “ci sta” nelle specifiche con margine. $C_p\ge1$ significa che la variabilità è contenuta nelle tolleranze.

6. Indice Cpk (capacità centrata)

Esercizio. Se la media è $\mu=50{,}5$ (non centrata) con $\sigma=0{,}5$ e specifiche $[48,52]$ , calcolare il $C_{pk}$ .

Il $C_{pk}$ tiene conto del decentramento, prendendo il lato peggiore:

\begin{aligned} C_{pk} &=\min\left(\dfrac{LSS-\mu}{3\sigma},\ \dfrac{\mu-LSI}{3\sigma}\right)\\ &=\min\left(\dfrac{52-50{,}5}{1{,}5},\ \dfrac{50{,}5-48}{1{,}5}\right)\\ &=\min(1{,}0,\ 1{,}67) =1{,}0. \end{aligned}

$C_{pk}=1{,}0<C_p=1{,}33$ : il processo è capace ( $C_p$ ) ma mal centrato ( $C_{pk}$ minore). Il decentramento avvicina la media al limite superiore, riducendo il margine. $C_{pk}<C_p$ segnala sempre un problema di centratura.

7. Frazione attesa di non conformi

Esercizio. Con specifiche $[48,52]$ , media $\mu=50{,}5$ e $\sigma=0{,}5$ , stimare la frazione fuori specifica assumendo normalità.

Standardizziamo i limiti:

z_{\text{inf}}=\dfrac{48-50{,}5}{0{,}5}=-5, \qquad z_{\text{sup}}=\dfrac{52-50{,}5}{0{,}5}=3.

La frazione non conforme è

P(X<48)+P(X>52)=P(Z<-5)+P(Z>3).

Il primo termine è trascurabile; il secondo vale circa

P(Z>3)=0{,}00135.

Quindi la frazione attesa è circa $0{,}135\%$ , cioè

1350\ \text{ppm}.

Il lato superiore domina gli scarti perché il processo è decentrato verso $52$ .

8. Carta p per frazione difettosa

Esercizio. In una carta p si campionano sottogruppi da $n=200$ pezzi. La frazione media storica difettosa è $\bar p=0{,}04$ . Calcolare i limiti di controllo a $3\sigma$ .

Per la carta p:

LC=\bar p, \qquad LCS=\bar p+3\sqrt{\dfrac{\bar p(1-\bar p)}{n}}, \qquad LCI=\bar p-3\sqrt{\dfrac{\bar p(1-\bar p)}{n}}.

L’errore standard è

\sqrt{\dfrac{0{,}04\cdot0{,}96}{200}} =\sqrt{0{,}000192} =0{,}0139.

Quindi:

LCS=0{,}04+3\cdot0{,}0139=0{,}0816,

LCI=0{,}04-3\cdot0{,}0139=-0{,}0016.

Poiché una proporzione non può essere negativa, si tronca:

LCI=0.

La carta segnala fuori controllo se la frazione difettosa supera circa l’ $8{,}16\%$ .

9. Carta delle escursioni R

Esercizio. Per sottogruppi di ampiezza $n=5$ , si osserva escursione media $\bar R=1{,}20$ . Con costanti $D_3=0$ e $D_4=2{,}114$ , calcolare i limiti della carta R.

La carta R monitora la variabilità interna ai sottogruppi:

LCS_R=D_4\bar R,\qquad LCI_R=D_3\bar R.

Quindi

LCS_R=2{,}114\cdot1{,}20=2{,}54,

LCI_R=0\cdot1{,}20=0.

La linea centrale è $\bar R=1{,}20$ . Un punto oltre $2{,}54$ segnala aumento anomalo della dispersione, anche se la media del processo resta centrata.

10. Cp alto ma processo fuori controllo

Esercizio. Un processo ha $C_p=1{,}67$ , ma la carta delle medie mostra otto punti consecutivi sopra la linea centrale. Il processo è accettabile?

No. La capacità misura se la dispersione potenziale del processo entra nelle specifiche, di solito assumendo processo stabile. Ma una run di otto punti dallo stesso lato della media è un segnale di fuori controllo: indica una causa speciale o una deriva.

La sequenza corretta è:

verificare che il processo sia in controllo statistico;
solo dopo interpretare $C_p$ e $C_{pk}$ come indici di capacità.

Un processo può essere teoricamente capace ma non stabile: in quel caso gli indici di capacità sono poco affidabili.

Errori comuni

Confondere limiti di controllo e di specifica. I limiti di controllo ( $\pm3\sigma$ ) derivano dal processo; le specifiche dal cliente. Sono indipendenti.
Usare $\sigma$ invece di $\sigma/\sqrt n$ per le medie. La carta delle medie usa $\sigma/\sqrt n$ : limiti più stretti del singolo valore.
Fermarsi al $C_p$ . Il $C_p$ ignora la centratura; un processo con $C_p$ alto ma $C_{pk}$ basso produce comunque scarti.
Reagire solo ai punti fuori limiti. I pattern (trend, run) segnalano derive anche dentro i limiti: vanno monitorati.
Calcolare capacità prima della stabilità. Gli indici $C_p$ e $C_{pk}$ hanno senso operativo solo per processi in controllo statistico.
Lasciare un limite inferiore negativo nelle carte p. Le proporzioni non possono essere negative: il limite va troncato a $0$ .