Il cerchio è il luogo dei punti equidistanti dal centro: una figura ricca di proprietà metriche e angolari. Questa scheda allena lunghezza, area, settori, e i teoremi sugli angoli e sulle corde, ricorrenti negli esami di geometria e nelle applicazioni tecniche.
1. Circonferenza e area
Esercizio. Un cerchio ha raggio r=5. Calcolare lunghezza della circonferenza e area.
C=2\pi r=2\pi\times5=10\pi\approx31{,}4, A=\pi r^2=\pi\times25=25\pi\approx78{,}5.
La circonferenza cresce linearmente con il raggio, l’area con il quadrato: raddoppiare r raddoppia C ma quadruplica A.
2. Raggio dall’area
Esercizio. Un cerchio ha area A=113{,}1. Calcolare il raggio.
Invertendo A=\pi r^2:
r=\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}=\sqrt{\dfrac{113{,}1}{3{,}14}}=\sqrt{36}=6.
Dalla misura dell’area si risale al raggio con una radice quadrata. Verifica: \pi\times36=113{,}1. ✓
3. Angolo al centro e alla circonferenza
Esercizio. Un angolo alla circonferenza insiste su un arco di 80^\circ (angolo al centro). Calcolare l’angolo alla circonferenza.
L’angolo alla circonferenza è metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco:
\hat\alpha_{circ}=\dfrac{\hat\alpha_{centro}}{2}=\dfrac{80^\circ}{2}=40^\circ.
Conseguenza notevole: ogni angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza (diametro) è retto (180^\circ/2=90^\circ).
4. Settore circolare
Esercizio. Un settore circolare ha raggio r=6 e angolo al centro \theta=60^\circ. Calcolare area e lunghezza dell’arco.
Il settore è una frazione \theta/360^\circ dell’intero cerchio:
A_{sett}=\pi r^2\dfrac{\theta}{360^\circ}=\pi\times36\times\dfrac{60}{360}=\pi\times36\times\dfrac{1}{6}=6\pi\approx18{,}8, \ell_{arco}=2\pi r\dfrac{\theta}{360^\circ}=2\pi\times6\times\dfrac{1}{6}=2\pi\approx6{,}28.
Il settore è una “fetta” di cerchio: area e arco scalano con la frazione angolare.
5. Corda da raggio e distanza dal centro
Esercizio. In un cerchio di raggio r=10, una corda dista d=6 dal centro. Calcolare la lunghezza della corda.
Il raggio, la semicorda e la distanza dal centro formano un triangolo rettangolo:
\dfrac{\ell}{2}=\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\ \Rightarrow\ \ell=16.
La perpendicolare dal centro a una corda la dimezza: è la chiave per legare corda, raggio e distanza con Pitagora.
6. Teorema delle secanti
Esercizio. Da un punto esterno partono due secanti a un cerchio. La prima incontra il cerchio a distanze 3 e 8; della seconda si conosce solo il segmento esterno 4. Calcolare il segmento totale della seconda.
Il teorema delle secanti: il prodotto dei segmenti (esterno × totale) è costante per ogni secante dal punto.
3\times8=4\times x\ \Rightarrow\ x=\dfrac{24}{4}=6.
La seconda secante ha segmento totale 6. Il teorema (potenza di un punto) lega secanti e tangenti uscenti dallo stesso punto esterno.
7. Tangente e secante
Esercizio. Da un punto esterno a una circonferenza parte una tangente lunga t=6 e una secante con segmento esterno e=4. Calcolare il segmento totale della secante.
Il teorema tangente-secante dice:
dove s è il segmento totale della secante. Quindi:
Il tratto interno alla circonferenza è:
Il quadrato della tangente è un caso particolare della potenza di un punto: la tangente “tocca” la circonferenza in un solo punto, quindi i due segmenti coincidono.
8. Settore con angolo in radianti
Esercizio. Un settore circolare ha raggio r=4 e angolo \theta=\dfrac{\pi}{3} radianti. Calcolare arco e area.
Quando l’angolo è in radianti, le formule diventano più dirette:
e:
Verifica con i gradi: \dfrac{\pi}{3}=60^\circ, quindi il settore è un sesto del cerchio. L’area dell’intero cerchio è 16\pi; un sesto è \dfrac{8\pi}{3}.
9. Segmento circolare
Esercizio. In un cerchio di raggio r=6, un settore ha angolo al centro 60^\circ. Calcolare l’area del segmento circolare compreso tra arco e corda.
Il segmento circolare è:
Il settore vale:
Il triangolo formato dai due raggi e dalla corda è equilatero, perché l’angolo al centro è 60^\circ e i due lati sono raggi. Quindi:
Pertanto:
Il segmento circolare non coincide con il settore: bisogna togliere il triangolo isoscele formato dai raggi.
10. Equazione della circonferenza
Esercizio. Scrivere l’equazione della circonferenza di centro C(2,-1) e raggio r=5.
La forma canonica è:
Con C(2,-1):
Se serve la forma sviluppata:
cioè:
La forma canonica è migliore per leggere centro e raggio; quella sviluppata è utile per intersezioni con rette o altri luoghi geometrici.
Errori comuni
- Confondere circonferenza e area. C=2\pi r (lineare in r), A=\pi r^2 (quadratica): scambiarle è errore frequente.
- Dimenticare il fattore 1/2 angolo al centro/circonferenza. L’angolo alla circonferenza è metà di quello al centro sullo stesso arco.
- Non dimezzare la corda. La perpendicolare dal centro dimezza la corda: nel triangolo rettangolo va usata la semicorda.
- Sbagliare i segmenti nel teorema delle secanti. Il prodotto è (segmento esterno) × (segmento totale), non i due tratti interni.
- Mescolare gradi e radianti. Le formule \ell=r\theta e A=\dfrac{1}{2}r^2\theta valgono solo con \theta in radianti.