Un campo vettoriale è una funzione \mathbf{F}: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n che associa a ogni punto un vettore. In fisica descrive, ad esempio, campi di forze, velocità dei fluidi e campi elettromagnetici.
Operatore Nabla
L’operatore \nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n}\right) applicato a:
- Uno scalare f: produce il gradiente \nabla f
- Un vettore \mathbf{F} (prodotto scalare): produce la divergenza \nabla \cdot \mathbf{F}
- Un vettore \mathbf{F} in \mathbb{R}^3 (prodotto vettoriale): produce il rotore \nabla \times \mathbf{F}
Divergenza
\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x_1} + \cdots + \frac{\partial F_n}{\partial x_n}
Misura il flusso netto uscente da un volume infinitesimo: se positiva il punto è una sorgente, se negativa un pozzo.
Rotore (in \mathbb{R}^3)
\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix}
Misura la rotazione locale del campo attorno a un asse. La sua intensità e direzione corrispondono all’asse e alla velocità angolare della rotazione locale.
Campi Irrotazionali e Solenoidali
- Irrotazionale: \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}. In un dominio semplicemente connesso equivale a essere conservativo.
- Solenoidale (o a divergenza nulla): \nabla \cdot \mathbf{F} = 0. Le linee di campo si chiudono su se stesse (es. campo magnetico).
Identità Vettoriali Fondamentali
\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0} \qquad \text{(rotore di un gradiente nullo)} \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0 \qquad \text{(divergenza di un rotore nulla)} \Delta f = \nabla \cdot (\nabla f) = \sum_i \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} \qquad \text{(Laplaciano)}