Affidabilità: tasso di guasto e MTBF, esercizi svolti

L’affidabilità è la probabilità che un componente funzioni senza guasti fino a un certo istante. È centrale nell’ingegneria della qualità e nella manutenzione. Il modello base è l’esponenziale (tasso di guasto costante), generalizzato dalla distribuzione di Weibull. Questa scheda allena affidabilità, tasso di guasto e MTBF.

Funzione di affidabilità: $\;R(t)=P(T>t)=1-F(t)$ , con $T$ tempo al guasto.

1. Funzione di affidabilità esponenziale

Esercizio. Un componente ha tasso di guasto costante $\lambda=0{,}001\ \text{h}^{-1}$ . Qual è l’affidabilità a $t=500\ \text{h}$ ?

Con tasso costante, l’affidabilità è esponenziale:

$R(t)=e^{-\lambda t}=e^{-0{,}001\times500}=e^{-0{,}5}=0{,}607.$

Il $60{,}7\%$ dei componenti sopravvive oltre 500 ore. $R(t)$ decresce esponenzialmente nel tempo.

2. MTBF (tempo medio tra guasti)

Esercizio. Per lo stesso componente ( $\lambda=0{,}001\ \text{h}^{-1}$ ), calcolare l’MTBF.

Per il modello esponenziale l’MTBF è il reciproco del tasso:

$\text{MTBF}=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{0{,}001}=1000\ \text{h}.$

In media il componente funziona 1000 ore prima di guastarsi. Notevole: a $t=\text{MTBF}$ l’affidabilità è $R=e^{-1}=0{,}37$ , non $0{,}5$ : l’MTBF non è la mediana.

3. Tasso di guasto

Esercizio. Definire il tasso di guasto $h(t)$ e dire perché per l’esponenziale è costante.

Il tasso di guasto (hazard rate) è la propensione al guasto dato che il componente è ancora funzionante:

$h(t)=\dfrac{f(t)}{R(t)}.$

Per l’esponenziale $f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$ e $R(t)=e^{-\lambda t}$ , quindi:

$h(t)=\dfrac{\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}}=\lambda\ (\text{costante}).$

Tasso costante significa assenza di invecchiamento: il componente non “si usura” (proprietà senza memoria). È adatto ai guasti casuali, non all’usura.

4. Curva a vasca da bagno

Esercizio. Descrivere le tre fasi del tasso di guasto nel ciclo di vita di un componente.

Il tasso di guasto reale segue la curva “a vasca da bagno”:

mortalità infantile: tasso decrescente (difetti di fabbricazione che emergono presto);
vita utile: tasso costante (guasti casuali, modello esponenziale valido);
usura: tasso crescente (degrado, fine vita).

Il modello esponenziale ( $\lambda$ costante) descrive bene solo la fase centrale. Le fasi laterali richiedono Weibull con forma diversa.

5. Distribuzione di Weibull

Esercizio. Spiegare come il parametro di forma $\beta$ della Weibull descrive le tre fasi.

L’affidabilità di Weibull è $R(t)=e^{-(t/\eta)^\beta}$ , con $\eta$ scala e $\beta$ forma. Il tasso di guasto $h(t)\propto t^{\beta-1}$ :

$\beta<1$ → tasso decrescente (mortalità infantile);
$\beta=1$ → tasso costante (si riduce all’esponenziale);
$\beta>1$ → tasso crescente (usura).

La Weibull unifica le tre fasi in un solo modello, scegliendo $\beta$ : è la distribuzione regina dell’affidabilità.

6. Affidabilità a un tempo dato (Weibull)

Esercizio. Un cuscinetto ha vita di Weibull con $\eta=2000\ \text{h}$ e $\beta=2$ . Calcolare l’affidabilità a $t=1000\ \text{h}$ .

$R(t)=e^{-(t/\eta)^\beta}=e^{-(1000/2000)^2}=e^{-(0{,}5)^2}=e^{-0{,}25}=0{,}779.$

Il $77{,}9\%$ dei cuscinetti supera le 1000 ore. Con $\beta=2$ (usura), il tasso cresce nel tempo: il componente “invecchia”, a differenza dell’esponenziale.

7. Mediana di vita esponenziale

Esercizio. Per un componente esponenziale con $\lambda=0{,}001\ \text{h}^{-1}$ , calcolare la vita mediana.

La mediana $t_{50}$ soddisfa:

R(t_{50})=0{,}5.

Con $R(t)=e^{-\lambda t}$ :

e^{-0{,}001 t_{50}}=0{,}5 \quad\Rightarrow\quad t_{50}=\dfrac{\ln2}{0{,}001}=693\ \text{h}.

La mediana è minore dell’MTBF ( $1000\ \text{h}$ ). Questo chiarisce perché “tempo medio” e “tempo entro cui metà fallisce” non sono sinonimi.

8. Garanzia a rischio fissato

Esercizio. Con $\lambda=0{,}001\ \text{h}^{-1}$ , quale durata di garanzia dà probabilità di guasto entro garanzia pari al $5\%$ ?

Serve:

F(t)=1-R(t)=0{,}05 \quad\Rightarrow\quad R(t)=0{,}95.

Quindi:

e^{-\lambda t}=0{,}95 \quad\Rightarrow\quad t=-\dfrac{\ln0{,}95}{0{,}001}=51{,}3\ \text{h}.

Una garanzia progettata su una probabilità di guasto richiede un percentile della distribuzione, non l’MTBF. Usare l’MTBF come garanzia produrrebbe un rischio molto più alto.

9. Tasso di guasto Weibull in un istante

Esercizio. Per la Weibull con $\eta=2000\ \text{h}$ e $\beta=2$ , calcolare il tasso di guasto a $t=1000\ \text{h}$ .

Per Weibull:

h(t)=\dfrac{\beta}{\eta}\left(\dfrac{t}{\eta}\right)^{\beta-1}.

Sostituendo:

h(1000)=\dfrac{2}{2000}\left(\dfrac{1000}{2000}\right)^{1} =0{,}001\times0{,}5 =0{,}0005\ \text{h}^{-1}.

Il tasso non è costante: crescerà ancora con $t$ . Questo è il segnale matematico dell’usura.

10. Sistema serie con componenti esponenziali

Esercizio. Due componenti indipendenti in serie hanno tassi di guasto costanti $\lambda_1=0{,}001$ e $\lambda_2=0{,}002\ \text{h}^{-1}$ . Calcolare l’affidabilità del sistema a $t=500\ \text{h}$ .

Le affidabilità individuali sono:

R_1=e^{-\lambda_1t},\qquad R_2=e^{-\lambda_2t}.

In serie:

R_s=R_1R_2=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)t} =e^{-0{,}003\times500}=e^{-1{,}5}=0{,}223.

Per componenti esponenziali indipendenti in serie, i tassi si sommano. Il sistema fallisce al primo guasto.

Errori comuni

Confondere MTBF e mediana. All’MTBF l’affidabilità esponenziale è $e^{-1}=0{,}37$ , non $0{,}5$ : l’MTBF è la media, non la mediana.
Usare l’esponenziale per l’usura. Il modello a tasso costante vale nella vita utile; per mortalità infantile o usura serve la Weibull.
Scambiare affidabilità e inaffidabilità. $R(t)=P(T>t)$ (sopravvivenza); $F(t)=1-R(t)$ è la probabilità di guasto entro $t$ .
Interpretare male $\beta$ . $\beta<1$ è rodaggio (tasso calante), $\beta>1$ è usura (tasso crescente): confonderli inverte la fisica del guasto.
Usare l’MTBF come percentile. L’MTBF è una media, non una garanzia di sopravvivenza.
Dimenticare che in serie i tassi esponenziali si sommano. Il primo guasto ferma il sistema, quindi l’hazard complessivo aumenta.