Affidabilità di sistemi serie e parallelo: esercizi svolti

L’affidabilità di un sistema dipende da come i componenti sono connessi: in serie (tutti devono funzionare) o in parallelo (basta uno). La ridondanza parallela è la strategia principale per aumentare l’affidabilità. Questa scheda allena il calcolo per configurazioni serie, parallelo e miste.

1. Sistema in serie

Esercizio. Tre componenti in serie con affidabilità $R_1=0{,}95$ , $R_2=0{,}90$ , $R_3=0{,}98$ . Calcolare l’affidabilità del sistema.

In serie il sistema funziona solo se tutti funzionano: le affidabilità si moltiplicano.

$R_s=R_1 R_2 R_3=0{,}95\times0{,}90\times0{,}98=0{,}838.$

L’affidabilità in serie è sempre inferiore a quella del componente peggiore: più componenti in serie, più fragile il sistema.

2. Sistema in parallelo

Esercizio. Due componenti in parallelo con $R_1=0{,}90$ e $R_2=0{,}80$ . Calcolare l’affidabilità del sistema.

In parallelo il sistema si guasta solo se tutti si guastano: si moltiplicano le inaffidabilità ( $1-R$ ).

$R_p=1-(1-R_1)(1-R_2)=1-(0{,}10)(0{,}20)=1-0{,}02=0{,}98.$

L’affidabilità in parallelo è superiore a quella del componente migliore: la ridondanza aumenta l’affidabilità. Da $0{,}90$ a $0{,}98$ con un solo componente aggiunto.

3. Effetto della ridondanza

Esercizio. Un componente ha $R=0{,}90$ . Quanto diventa l’affidabilità con due e con tre unità identiche in parallelo?

Per $n$ componenti identici in parallelo: $R_p=1-(1-R)^n$ .

$n=2:\ 1-(0{,}1)^2=0{,}99;\qquad n=3:\ 1-(0{,}1)^3=0{,}999.$

Ogni unità ridondante aggiunge un “9” all’affidabilità. La ridondanza è potentissima, ma con rendimenti decrescenti: dopo qualche unità il guadagno è marginale rispetto al costo.

4. Sistema misto

Esercizio. Un sistema ha due rami in parallelo; ogni ramo è una serie di due componenti con $R=0{,}9$ . Calcolare l’affidabilità totale.

Passo 1 — affidabilità di un ramo (serie):

$R_{ramo}=0{,}9\times0{,}9=0{,}81.$

Passo 2 — due rami in parallelo:

$R_{sys}=1-(1-0{,}81)^2=1-(0{,}19)^2=1-0{,}036=0{,}964.$

I sistemi misti si risolvono per blocchi: prima le serie interne, poi i paralleli (o viceversa), riducendo via via la rete.

5. Ridondanza a livello di componente vs di sistema

Esercizio. Meglio duplicare ogni componente (ridondanza locale) o duplicare l’intero sistema (ridondanza globale)? Confronto con due componenti $R=0{,}9$ in serie.

Ridondanza globale (due sistemi serie in parallelo, dal punto 4): $R=0{,}964$ .

Ridondanza locale (ogni componente duplicato, poi in serie):

$R_{comp}=1-(0{,}1)^2=0{,}99;\qquad R_{sys}=0{,}99\times0{,}99=0{,}980.$

La ridondanza locale ( $0{,}980$ ) batte quella globale ( $0{,}964$ ): duplicare al livello più basso è più efficace. È un risultato controintuitivo ma generale.

6. Sistema k-su-n

Esercizio. Un sistema funziona se almeno 2 su 3 componenti (ciascuno $R=0{,}9$ ) funzionano. Calcolare l’affidabilità.

Il sistema 2-su-3 funziona se 2 o 3 componenti funzionano (binomiale):

$R=\binom{3}{2}R^2(1-R)+\binom{3}{3}R^3=3\times0{,}81\times0{,}1+0{,}729=0{,}243+0{,}729=0{,}972.$

I sistemi $k$ -su- $n$ generalizzano serie ( $n$ -su- $n$ ) e parallelo (1-su- $n$ ). Il 2-su-3 ( $0{,}972$ ) è un compromesso: più affidabile della serie, meno del parallelo puro, usato nei sistemi a votazione (es. computer di volo).

7. Numero di unità ridondanti per un obiettivo

Esercizio. Un componente ha affidabilità $R=0{,}90$ . Quante unità identiche in parallelo servono per ottenere almeno $R_{sys}=0{,}9999$ ?

Per $n$ unità in parallelo:

R_{sys}=1-(1-R)^n=1-(0{,}1)^n.

Serve:

1-(0{,}1)^n\ge0{,}9999 \quad\Rightarrow\quad (0{,}1)^n\le0{,}0001=10^{-4}.

Poiché $0{,}1=10^{-1}$ :

10^{-n}\le10^{-4}\quad\Rightarrow\quad n\ge4.

Servono 4 unità in parallelo. L’esercizio mostra come tradurre un requisito di affidabilità in architettura ridondante.

8. Sistema 3-su-5

Esercizio. Un sistema funziona se almeno 3 componenti su 5 funzionano. Ogni componente ha $R=0{,}90$ ed è indipendente. Calcolare l’affidabilità.

Il sistema funziona per 3, 4 o 5 componenti attivi:

R=\sum_{j=3}^{5}\binom{5}{j}R^j(1-R)^{5-j}.

Sostituendo:

R=\binom{5}{3}0{,}9^3 0{,}1^2+\binom{5}{4}0{,}9^4 0{,}1+0{,}9^5.

R=10(0{,}729)(0{,}01)+5(0{,}6561)(0{,}1)+0{,}59049.

R=0{,}0729+0{,}3281+0{,}5905=0{,}9915.

La votazione 3-su-5 è molto affidabile, ma meno del parallelo puro 1-su-5; in cambio tollera guasti senza accettare l’uscita di un singolo componente come sufficiente.

9. Ipotesi di indipendenza e guasti comuni

Esercizio. Perché la formula del parallelo può sovrastimare l’affidabilità reale se i componenti condividono la stessa alimentazione?

La formula:

R_p=1-(1-R_1)(1-R_2)

presuppone guasti indipendenti. Se entrambi i componenti dipendono dalla stessa alimentazione, un guasto dell’alimentatore li spegne insieme: è un common cause failure.

In quel caso la ridondanza locale non protegge dal guasto comune. Serve separare alimentazioni, cablaggi, raffreddamento, software o ambiente operativo. L’affidabilità di architettura non è solo algebra: dipende anche dall’indipendenza fisica dei modi di guasto.

Errori comuni

Moltiplicare le affidabilità in parallelo. In parallelo si moltiplicano le inaffidabilità $(1-R)$ , non le affidabilità.
Pensare la serie più affidabile del componente peggiore. La serie è sempre peggiore di ogni singolo componente.
Risolvere i sistemi misti senza blocchi. Vanno ridotti per blocchi (serie interne, poi paralleli): non c’è una formula unica.
Preferire la ridondanza globale. A parità di componenti, la ridondanza locale dà affidabilità maggiore.
Dimenticare l’indipendenza. Le formule semplici di serie/parallelo richiedono guasti indipendenti; cause comuni possono annullare il vantaggio della ridondanza.
Usare un k-su-n senza chiarire k. Serie, parallelo e votazione sono casi diversi: il requisito “almeno k funzionanti” va scritto esplicitamente.