Formulario di codifica e aritmetica binaria per i corsi di base di informatica. Lo scopo è offrire un riferimento autosufficiente e ragionato, centrato sui calcoli e sulle procedure, per convertire tra sistemi di numerazione, eseguire l’aritmetica binaria, rappresentare numeri con segno, in virgola fissa e mobile, codificare caratteri e dati, e manipolare espressioni booleane.
Perché tutto questo è il fondamento dell’informatica? Un calcolatore non “conosce” i numeri decimali, le lettere o le immagini: conosce solo due stati fisici, convenzionalmente 0 e 1, perché un circuito è molto più affidabile se deve distinguere fra due soli livelli (acceso/spento, alto/basso) anziché fra dieci. Tutta l’informazione — numeri, testo, suoni, istruzioni — viene quindi codificata in sequenze di bit. Capire come si rappresentano e si elaborano questi bit è capire come “ragiona” la macchina.
Sono trattati solo argomenti con formule e procedure di calcolo verificabili; i concetti puramente descrittivi (architetture, reti, algoritmi, sistemi operativi) sono nel glossario. Ogni sezione contiene esempi numerici svolti passo passo e commentati.
L’ordine consigliato è:
- sistemi di numerazione e valore posizionale;
- conversioni tra basi;
- aritmetica binaria (somma, sottrazione, prodotto, shift);
- numeri con segno e complemento a due;
- overflow e propagazione dell’errore;
- virgola fissa e virgola mobile (IEEE 754);
- codici: BCD, Gray, ASCII, Unicode;
- unità di misura dei dati;
- algebra di Boole;
- forme canoniche e mappe di Karnaugh.
Mappa di lettura operativa:
| Problema | Strumento principale | Controllo |
|---|---|---|
| valore di un numero in base b | valore posizionale | base e peso delle cifre |
| convertire una base | divisioni/moltiplicazioni successive | parte intera e frazionaria |
| sommare o sottrarre in binario | riporto / prestito o complemento | numero di bit |
| numeri negativi | complemento a due | bit di segno |
| risultato fuori intervallo | rilevazione di overflow | riporto sui bit di segno |
| numeri reali | virgola fissa o IEEE 754 | segno, esponente, mantissa |
| caratteri e simboli | tabelle di codifica | ASCII, Unicode, UTF-8 |
| capacità di dati | potenze di 2 e di 10 | prefissi binari vs decimali |
| semplificare logica | algebra di Boole, Karnaugh | tavola di verità |
1. Sistemi di numerazione e valore posizionale
L’idea di sistema posizionale
In un sistema posizionale il valore di una cifra dipende dalla sua posizione. Lo facciamo ogni giorno in base 10: nel numero 327, il 3 non vale tre ma trecento, perché occupa la posizione delle centinaia. La stessa idea si generalizza a qualunque base b: ogni posizione ha un peso pari a una potenza crescente di b, da destra verso sinistra.
Formalmente, un numero in base b con cifre d_i vale:
dove gli indici positivi pesano la parte intera (unità b^0, poi b^1, b^2, …) e quelli negativi la parte frazionaria (b^{-1}, b^{-2}, …). La base b determina quante cifre distinte servono: da 0 a b-1. In base 2 bastano due simboli, ed è questa economia di simboli a renderla adatta all’elettronica.
Le basi più usate in informatica:
| Base | Nome | Cifre | Perché si usa |
|---|---|---|---|
| 2 | binaria | 0, 1 | due stati fisici affidabili |
| 8 | ottale | 0–7 | compatta i bit a gruppi di 3 |
| 10 | decimale | 0–9 | naturale per l’uomo |
| 16 | esadecimale | 0–9, A–F | compatta i bit a gruppi di 4 |
L’esadecimale merita una nota: si usa moltissimo non perché la macchina “pensi” in base 16, ma perché è una scrittura compatta del binario comoda per l’uomo. Un byte (8 bit) si scrive con due sole cifre esadecimali, molto più leggibili di otto 0 e 1.
Esempio commentato con parte frazionaria
Il numero 101{,}11_2 si valuta sommando ogni cifra moltiplicata per il peso della sua posizione. Le posizioni a sinistra della virgola hanno peso 2^0, 2^1, 2^2; quelle a destra 2^{-1}, 2^{-2}:
Si noti che 2^{-1} = 0{,}5 e 2^{-2} = 0{,}25: in binario la parte frazionaria è una somma di mezzi, quarti, ottavi, e così via. Questo fatto, apparentemente innocuo, è la radice di un problema importante (sezione 6): non tutti i decimali “tondi” sono esprimibili esattamente in binario.
2. Conversioni tra basi
Da base b a decimale
È la conversione più semplice: si applica direttamente il valore posizionale, sommando i prodotti cifra × peso. La difficoltà, in esadecimale, è solo ricordare che le lettere valgono A=10, B=11, \dots, F=15. Esempio, 2\text{F}_{16}:
Da decimale a base b — parte intera (divisioni successive)
Il metodo si basa su un’osservazione: dividere un numero per la base b dà come resto la cifra meno significativa, e come quoziente il numero “senza” quella cifra. Ripetendo, si estraggono una a una tutte le cifre, dalla meno alla più significativa. Per questo il risultato si legge dal basso verso l’alto.
Esempio, 47_{10} in binario:
| Divisione | Quoziente | Resto |
|---|---|---|
| 47 \div 2 | 23 | 1 |
| 23 \div 2 | 11 | 1 |
| 11 \div 2 | 5 | 1 |
| 5 \div 2 | 2 | 1 |
| 2 \div 2 | 1 | 0 |
| 1 \div 2 | 0 | 1 |
Leggendo i resti dal basso: 47_{10} = 101111_2. Verifica rapida (riconvertendo): 32+8+4+2+1 = 47. ✓
Da decimale a base b — parte frazionaria (moltiplicazioni successive)
Per la parte frazionaria il meccanismo è speculare: moltiplicando per b, la parte intera del risultato è la cifra frazionaria più significativa; si prosegue con la sola parte frazionaria residua, leggendo le cifre dall’alto verso il basso.
Esempio, 0{,}625_{10} in binario:
| Moltiplicazione | Risultato | Parte intera |
|---|---|---|
| 0{,}625 \times 2 | 1,25 | 1 |
| 0{,}25 \times 2 | 0,5 | 0 |
| 0{,}5 \times 2 | 1,0 | 1 |
Il processo si ferma quando la parte frazionaria diventa 0: 0{,}625_{10} = 0{,}101_2. Ma non sempre finisce: provando con 0{,}1_{10} il calcolo non termina mai e produce una sequenza periodica (0{,}0\overline{0011}_2). Questo è il motivo profondo per cui 0{,}1 + 0{,}2 \ne 0{,}3 esatto nei calcolatori: 0{,}1 non è rappresentabile in modo finito in binario.
Binario ↔ esadecimale ↔ ottale
Queste conversioni sono immediate perché 16 = 2^4 e 8 = 2^3: una cifra esadecimale “vale” esattamente 4 bit, una ottale 3 bit. Basta raggruppare i bit, partendo dalla virgola:
Se i bit non sono multipli di 4 (o 3), si completano con zeri a sinistra. Questa corrispondenza esatta è la ragione pratica per cui esadecimale e ottale sono i formati preferiti per leggere contenuti di memoria.
3. Aritmetica binaria
Somma con riporto
La somma binaria segue le stesse regole della decimale, ma con sole due cifre. Il caso chiave è 1+1: dà 0 con riporto di 1 alla posizione successiva (come 9+1=10 in decimale).
Esempio commentato, 1011_2 + 0110_2 (cioè 11+6):
1011 (riporti)
1011
+ 0110
------
10001Da destra: 1+0=1; 1+1=10 (scrivo 0, riporto 1); 0+1+1=10 (scrivo 0, riporto 1); 1+0+1=10 (scrivo 0, riporto 1); resta il riporto finale 1. Risultato 10001_2 = 17. ✓
Sottrazione con prestito
La sottrazione bit a bit usa il prestito (borrow): il caso critico è 0-1, che dà 1 “prendendo in prestito” 1 dalla posizione successiva. In pratica, però, i calcolatori non implementano un circuito di sottrazione separato: trasformano A - B in A + (-B) usando il complemento a due (sezione 4). Così un unico sommatore esegue sia somme sia differenze, semplificando enormemente l’hardware. È un esempio di come una buona rappresentazione (il complemento a due) elimini la necessità di una macchina dedicata.
Moltiplicazione
La moltiplicazione binaria è più semplice della decimale, perché ogni cifra del moltiplicatore è 0 o 1: ogni prodotto parziale è quindi o zero, o una copia del moltiplicando opportunamente shiftata. Esempio, 101_2 \times 11_2 (cioè 5 \times 3):
101
x 11
-----
101 (101 x 1)
101 (101 x 1, shiftato)
-----
1111Risultato 1111_2 = 15. ✓ La moltiplicazione si riduce dunque a una sequenza di shift e somme, ed è così che la realizzano i circuiti.
Shift come moltiplicazione e divisione per potenze di 2
Una proprietà preziosa: in qualunque base posizionale, “spostare” le cifre equivale a moltiplicare o dividere per la base. In binario, spostare a sinistra di k posizioni (aggiungendo k zeri a destra) moltiplica per 2^k; spostare a destra divide:
Esempio: 0011_2 = 3, shiftato a sinistra di 2 → 1100_2 = 12 = 3 \times 4. Poiché lo shift è una delle operazioni più veloci della CPU, i compilatori sostituiscono automaticamente le moltiplicazioni e divisioni per potenze di 2 con shift: è la forma più classica di ottimizzazione a basso livello.
4. Numeri con segno e complemento a due
Il problema: come rappresentare il segno
Con soli 0 e 1 non esiste un “segno meno” da scrivere: anche il segno va codificato in bit. Sono state inventate tre soluzioni, di sofisticazione crescente:
| Metodo | Idea | Svantaggio |
|---|---|---|
| Modulo e segno | un bit dedicato al segno, il resto è il modulo | due zeri (+0 e -0), somma complicata |
| Complemento a uno | il negativo si ottiene invertendo tutti i bit | ancora due zeri |
| Complemento a due | inversione dei bit, più 1 | nessuno (standard universale) |
Il problema di modulo e segno è che il circuito di somma deve “guardare” i segni e decidere se sommare o sottrarre: complicato. Il complemento a due elimina questo problema.
Complemento a due: definizione e perché funziona
Per ottenere il negativo di un numero su n bit si invertono tutti i bit e si aggiunge 1:
Esempio su 8 bit, calcolo di -5:
- 5 = 00000101;
- inverto tutti i bit: 11111010;
- aggiungo 1: 11111011.
Quindi -5 = 11111011 in complemento a due a 8 bit. Il bit più significativo (MSB) funge da segno: 0 = positivo, 1 = negativo. Perché funziona? Perché in aritmetica modulo 2^n vale N + (\overline{N}+1) = 2^n \equiv 0: la definizione garantisce che N + (-N) = 0, esattamente ciò che ci si aspetta da un opposto. Verifica: 00000101 + 11111011 = 1\,00000000, e l’1 in più (nono bit) “trabocca” fuori dagli 8 bit, lasciando 00000000. ✓
Intervallo rappresentabile e proprietà
Su n bit, il complemento a due copre:
Su 8 bit: da -128 a +127. L’intervallo è asimmetrico: c’è un valore negativo in più (-128) che non ha opposto positivo rappresentabile. Questo è fonte di un classico bug: calcolare -(-128) su 8 bit restituisce di nuovo -128 (overflow). I vantaggi che compensano l’asimmetria sono due e decisivi: un solo zero (niente -0), e soprattutto la possibilità di eseguire la sottrazione come somma — A - B = A + (-B) — con un unico circuito sommatore, senza logica speciale per il segno.
5. Overflow e propagazione dell’errore
Overflow nella somma in complemento a due
L’overflow si verifica quando il risultato di un’operazione esce dall’intervallo rappresentabile: i bit a disposizione non bastano, e il risultato è scorretto. La regola di rilevazione è elegante: c’è overflow se i due operandi hanno lo stesso segno e il risultato ha segno opposto. Sommando due positivi non si può ottenere un negativo (se accade, è overflow); idem per due negativi. Equivalentemente, c’è overflow se il riporto entrante nel bit di segno differisce da quello uscente.
Esempio su 8 bit: 100 + 50 = 150. Ma il massimo rappresentabile è 127: il risultato in complemento a due diventa 10010110_2, che ha l’MSB a 1, quindi appare negativo (-106). Due positivi che danno un negativo: overflow rilevato. Nota importante: l’overflow nei numeri con segno è diverso dal semplice riporto uscente (carry) nei numeri senza segno — sono due bandiere distinte nella CPU.
Errore nei reali e epsilon di macchina
I numeri reali, rappresentati con un numero finito di bit, non possono essere infinitamente precisi: nasce un errore di arrotondamento a ogni operazione, che può accumularsi in calcoli lunghi. La grandezza di riferimento è l’epsilon di macchina \varepsilon, definito come il più piccolo numero tale che, nella rappresentazione usata:
Misura la “risoluzione relativa” della rappresentazione: in doppia precisione \varepsilon \approx 2{,}2\times10^{-16}, cioè circa 16 cifre decimali significative. Conoscere \varepsilon serve a capire quando un calcolo perde precisione (per esempio sottraendo due numeri quasi uguali, fenomeno detto cancellazione catastrofica).
6. Virgola fissa e virgola mobile
Virgola fissa
Nella virgola fissa si decide a priori quanti bit destinare alla parte intera e quanti alla frazionaria; la virgola “non si muove”. È semplice, veloce e usata in sistemi embedded e DSP, ma ha intervallo e risoluzione rigidi: con pochi bit frazionari non si rappresentano numeri molto piccoli, con pochi interi non si rappresentano numeri grandi.
Virgola mobile (IEEE 754): l’idea
Per rappresentare con gli stessi bit sia numeri minuscoli sia enormi, si adotta la virgola mobile, l’analogo binario della notazione scientifica (6{,}02\times10^{23}). Un numero si scrive come segno × mantissa × base elevata a un esponente; “muovendo” l’esponente, la virgola scorre. Lo standard universale è l’IEEE 754:
dove s è il bit di segno, m la mantissa frazionaria, e l’esponente memorizzato, bias uno spostamento fisso che permette di rappresentare esponenti sia positivi sia negativi senza un secondo segno.
| Formato | Bit | Segno | Esponente | Mantissa | Bias |
|---|---|---|---|---|---|
| Singola (float) | 32 | 1 | 8 | 23 | 127 |
| Doppia (double) | 64 | 1 | 11 | 52 | 1023 |
L’1 iniziale della mantissa (la cifra prima della virgola dopo la normalizzazione) è sempre 1, quindi non si memorizza: è il “bit nascosto”, che regala un bit di precisione gratuito.
Esempio svolto passo passo: -6{,}5 in singola precisione
- Converto in binario: 6{,}5_{10} = 110{,}1_2 (cioè 4+2+0{,}5).
- Normalizzo (una sola cifra non nulla prima della virgola): 1{,}101 \times 2^{2}.
- Segno: il numero è negativo, quindi s = 1.
- Esponente memorizzato: l’esponente reale è 2; sommando il bias, e = 2 + 127 = 129 = 10000001_2.
- Mantissa: la parte dopo la virgola della forma normalizzata, 101, completata a 23 bit con zeri.
Risultato finale (segno | esponente | mantissa):
1 10000001 10100000000000000000000Valori speciali e insidie
Lo standard riserva alcune configurazioni di bit a casi particolari: lo zero (in due forme, +0 e -0), gli infiniti (\pm\infty, risultato di overflow o di 1/0) e NaN (Not a Number, risultato di operazioni indefinite come 0/0 o \sqrt{-1}). Conseguenza pratica fondamentale: a causa della precisione finita e degli arrotondamenti, non si devono mai confrontare due float con l’uguaglianza diretta (a == b): si verifica invece che la loro differenza sia inferiore a una piccola tolleranza. Inoltre NaN ha una proprietà sorprendente: non è uguale a sé stesso (NaN != NaN), proprietà usata proprio per rilevarlo.
7. Codici: BCD, Gray, ASCII, Unicode
Finora abbiamo codificato numeri; ma in binario si codifica qualunque informazione, scegliendo una corrispondenza (un codice) tra simboli e sequenze di bit. La scelta del codice non è neutra: ogni codice ottimizza qualcosa.
Codici numerici: BCD e Gray
| Codice | Idea | Vantaggio |
|---|---|---|
| BCD | ogni cifra decimale su 4 bit separati | conversione immediata da/verso decimale |
| Gray | codici consecutivi differiscono di 1 solo bit | riduce errori di lettura |
Il BCD (Binary-Coded Decimal) codifica ogni cifra decimale con i suoi 4 bit, indipendentemente: 59_{10} = 0101\,1001_{BCD} (5 → 0101, 9 → 1001). Spreca codici (usa 10 delle 16 combinazioni a 4 bit) ma evita conversioni: utile in display, calcolatrici e sistemi che mostrano cifre decimali.
Il codice Gray ha una proprietà speciale: due valori consecutivi differiscono per un solo bit. Nella numerazione binaria normale, passare da 0111 (7) a 1000 (8) cambia 4 bit insieme; se questi non commutano simultaneamente in un sensore meccanico, si leggono valori spuri. Il Gray elimina il problema, ed è per questo usato negli encoder di posizione e nell’ordinamento delle mappe di Karnaugh (sezione 10).
Codifica dei caratteri
| Codifica | Bit/byte | Caratteri |
|---|---|---|
| ASCII | 7 bit | 128 simboli (alfabeto inglese, cifre, punteggiatura) |
| ASCII esteso | 8 bit | 256 simboli (lettere accentate, ecc.) |
| Unicode / UTF-8 | 1–4 byte | tutti i sistemi di scrittura del mondo |
L’ASCII associa a ogni carattere un numero a 7 bit: ‘A’ = 65, ‘Z’ = 90, ‘a’ = 97, ‘0’ = 48. La tabella è progettata con cura: cifre e lettere sono in sequenza contigua, quindi valgono trucchi utilissimi come '7' - '0' = 7 (per convertire un carattere-cifra nel suo valore) e una differenza costante di 32 tra maiuscole e minuscole ('a' - 'A' = 32), che permette di cambiare maiuscolo/minuscolo con una semplice operazione.
L’ASCII basta per l’inglese ma non per le altre lingue. Unicode assegna un numero (code point) a ogni carattere di ogni scrittura esistente. UTF-8 è la codifica più diffusa di Unicode: usa un numero variabile di byte (1 per i caratteri ASCII, fino a 4 per i più rari), ed è retrocompatibile con ASCII — un testo ASCII è già un testo UTF-8 valido. Questa retrocompatibilità è la ragione del suo dominio sul web.
8. Unità di misura dei dati
Bit, byte e numero di bit necessari
L’unità elementare è il bit (0 o 1); 8 bit formano un byte, l’unità di indirizzamento tipica della memoria. Con n bit si rappresentano 2^n configurazioni distinte. Invertendo la relazione, per rappresentare V valori (o simboli) distinti servono:
Esempio: per codificare le 26 lettere dell’alfabeto servono \lceil \log_2 26 \rceil = \lceil 4{,}7 \rceil = 5 bit (4 bit darebbero solo 16 simboli, insufficienti). Questa formula è la base per dimensionare campi, indirizzi e codici.
Prefissi binari e decimali: la confusione delle “K”
Qui si annida un equivoco diffusissimo. I prefissi (kilo, mega, giga…) possono indicare potenze di 10 (sistema SI) o di 2 (sistema IEC, introdotto per chiarezza):
| Decimale (SI) | Valore | Binario (IEC) | Valore |
|---|---|---|---|
| kB (kilobyte) | 10^3 = 1000 | KiB (kibibyte) | 2^{10} = 1024 |
| MB | 10^6 | MiB | 2^{20} |
| GB | 10^9 | GiB | 2^{30} |
| TB | 10^{12} | TiB | 2^{40} |
La differenza è piccola sui kilobyte (1024 vs 1000, +2,4%) ma cresce con la scala. Su un terabyte è circa il 10%: ecco perché un disco venduto “da 1 TB” (10^{12} byte, conteggio del produttore) appare come circa 0{,}91 TiB nel sistema operativo (che conta in potenze di 2). Non è un inganno né un errore: sono due convenzioni diverse sullo stesso numero di byte.
9. Algebra di Boole
L’algebra di Boole è la matematica dei due valori logici (vero/falso, 1/0). È il fondamento del progetto dei circuiti digitali: ogni funzione che un calcolatore esegue, in ultima analisi, è una combinazione di operazioni booleane realizzate da porte logiche.
Operatori fondamentali
| Operatore | Notazione | Risultato |
|---|---|---|
| NOT | \overline{A} | inverte il valore |
| AND | A \cdot B | 1 solo se entrambi 1 |
| OR | A + B | 1 se almeno uno è 1 |
| XOR | A \oplus B | 1 se i due sono diversi |
Le notazioni \cdot (prodotto) per l’AND e + (somma) per l’OR non sono casuali: l’AND si comporta come la moltiplicazione (1\cdot1=1, tutto il resto 0) e l’OR come una somma “satura” (0+0=0, il resto 1). Questa analogia rende intuitive molte leggi.
Leggi fondamentali
| Legge | Forma |
|---|---|
| Identità | A + 0 = A, \;A \cdot 1 = A |
| Elemento nullo | A + 1 = 1, \;A \cdot 0 = 0 |
| Idempotenza | A + A = A, \;A \cdot A = A |
| Complemento | A + \overline{A} = 1, \;A \cdot \overline{A} = 0 |
| Doppia negazione | \overline{\overline{A}} = A |
| De Morgan | \overline{A+B} = \overline{A}\cdot\overline{B} |
| De Morgan | \overline{A\cdot B} = \overline{A}+\overline{B} |
| Distributiva | A(B+C) = AB + AC |
| Assorbimento | A + AB = A |
Queste leggi servono a semplificare le espressioni logiche, e quindi a ridurre il numero di porte (e di costo) di un circuito. Le leggi di De Morgan sono le più importanti in pratica: dicono come negare un’espressione composta, trasformando AND in OR e viceversa. La loro conseguenza tecnologica è enorme: poiché si possono esprimere AND, OR e NOT usando solo porte NAND (o solo NOR), queste due porte sono dette universali, e molti circuiti reali sono costruiti interamente con NAND, più economiche da fabbricare.
10. Forme canoniche e mappe di Karnaugh
Dalla tavola di verità alla formula
Qualunque funzione booleana è completamente descritta dalla sua tavola di verità (l’elenco delle uscite per ogni combinazione di ingressi). Da essa si ricava sempre una formula, in due forme canoniche equivalenti:
- somma di prodotti (SOP): si prende l’OR di un termine AND per ogni riga con uscita 1 (i mintermini);
- prodotto di somme (POS): si prende l’AND di un termine OR per ogni riga con uscita 0 (i maxtermini).
La forma canonica è corretta ma spesso ridondante: contiene più termini del necessario. Da qui l’esigenza di minimizzarla.
Mappe di Karnaugh: minimizzare graficamente
La mappa di Karnaugh è uno strumento grafico per ottenere l’espressione minima (meno termini, meno variabili) senza manipolazioni algebriche. Si dispongono i valori di uscita in una griglia le cui righe e colonne sono ordinate con codice Gray, così che celle adiacenti differiscano per un solo bit di ingresso. Si raggruppano poi gli 1 in blocchi rettangolari di dimensione potenza di 2 (1, 2, 4, 8\dots), il più grandi possibile, eventualmente a cavallo dei bordi (la mappa “si avvolge”). Ogni volta che un gruppo raddoppia, una variabile si elimina, perché nel gruppo quella variabile compare sia vera sia negata.
Esempio: una funzione di due variabili F(A,B) che vale 1 quando AB = 01 e AB = 11. In entrambi i casi B = 1 (mentre A cambia): raggruppando le due celle adiacenti, A si elide e resta semplicemente:
Si è passati da una somma di due prodotti (\overline{A}B + AB) a una sola variabile: è esattamente ciò che la legge \overline{A}B + AB = B(\overline{A}+A) = B dimostra algebricamente, ma la mappa lo rende immediato a occhio. Su 3 o 4 variabili il vantaggio grafico diventa decisivo.
Note d’uso ed errori comuni
- Nella conversione decimale→base, leggere i resti dal basso (parte intera) e le parti intere dall’alto (parte frazionaria): invertirli è l’errore più frequente.
- Frazioni decimali semplici come 0{,}1 sono periodiche in binario: la rappresentazione è approssimata, ed è la causa di errori inattesi nei confronti tra reali.
- Una cifra esadecimale = 4 bit esatti, una ottale = 3 bit: sfruttarlo per conversioni rapide da/verso binario.
- Nel complemento a due l’intervallo è asimmetrico: -2^{n-1} non ha opposto positivo, e -(-2^{n-1}) dà overflow.
- Overflow con segno: stesso segno degli operandi, segno opposto del risultato. È diverso dal carry dei numeri senza segno.
- I float hanno precisione finita: mai confronti di uguaglianza diretti, usare una tolleranza; ricordare \pm\infty e NaN (con NaN \ne NaN).
- Distinguere prefissi decimali (kB, 10^3) da binari (KiB, 2^{10}): è l’origine della discrepanza tra capacità dichiarata e mostrata dei dischi.
- ASCII: cifre e lettere sono contigue (
'5'-'0'=5, maiuscole/minuscole differiscono di 32); UTF-8 è a lunghezza variabile e retrocompatibile con ASCII. - Applicare De Morgan con cura: la negazione di una somma è il prodotto delle negazioni, non la somma delle negazioni.
- Nelle mappe di Karnaugh, fare i gruppi più grandi possibile (e potenza di 2): gruppi più grandi = espressione più semplice.